Упр.590 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2024 года. Площадь прямоугольного треугольника равна $$90\ \text{см}^2$$. Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна $$369\ \text{см}^2$$. Каковы катеты этого треугольника?
2. Задание учебника 2013 года. Найти координаты точек пересечения параболы $$y=x^2$$ и прямой: 1) $$y=25$$; 2) $$y=5$$; 3) $$y=-x$$; 4) $$y=2x$$; 5) $$y=3-2x$$.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$ см. Тогда по условию:

$$\frac{1}{2}xy=90,$$

откуда

$$xy=180.$$

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна

$$x^2+y^2=369.$$

Возведём сумму катетов в квадрат:

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=369+2\cdot180=729.$$

Следовательно,

$$x+y=27.$$

Теперь найдём катеты как корни уравнения

$$t^2-27t+180=0.$$

$$D=27^2-4\cdot180=729-720=9,$$

$$t=\frac{27\pm3}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=12,\quad t_2=15.$$

Значит, катеты треугольника равны $$12$$ см и $$15$$ см.

Ответ

$$12\text{ см и }15\text{ см}.$$

Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2$$ с каждой прямой.

1. $$y=25$$

   $$x^2=25,\quad x=\pm5.$$

   Точки пересечения: $$(-5;25),\ (5;25).$$

2. $$y=5$$

   $$x^2=5,\quad x=\pm\sqrt5.$$

   Точки пересечения: $$(-\sqrt5;5),\ (\sqrt5;5).$$

3. $$y=-x$$

   $$x^2=-x$$

   $$x^2+x=0$$

   $$x(x+1)=0.$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=-1$$.

   Точки пересечения: $$(0;0),\ (-1;1).$$

4. $$y=2x$$

   $$x^2=2x$$

   $$x^2-2x=0$$

   $$x(x-2)=0.$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=2$$.

   Точки пересечения: $$(0;0),\ (2;4).$$

5. $$y=3-2x$$

   $$x^2=3-2x$$

   $$x^2+2x-3=0$$

   $$(x+3)(x-1)=0.$$

   Отсюда $$x=-3$$ или $$x=1$$.

   Точки пересечения: $$(-3;9),\ (1;1).$$

Ответ

1) $$(-5;25),\ (5;25)$$; 2) $$(-\sqrt5;5),\ (\sqrt5;5)$$; 3) $$(0;0),\ (-1;1)$$; 4) $$(0;0),\ (2;4)$$; 5) $$(-3;9),\ (1;1).$$