Упр.585 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x+y=41
v(x/y)+v(y/x)=41/20)+
2) {(x+y=10
vx+vy=4)+
3) {(x+y=5
vx+vy=3)+
4) {(x-y=13
vx-vy=1)+
Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1) y=4x^2+4x+1,y=2x+1;
2) y=x^2-8x+15,y=2/3 x-2;
3) y=x^2-3v2 x+4,y=v2/2 x-1;
4) y=v3 x^2+3x,y=v3/3 x+1.

1. $$ \begin{cases} x+y=41,\\ \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{41}{20}. \end{cases} $$

   Сделаем замену: $$\sqrt{\frac{x}{y}}=t,\quad \sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{1}{t},\quad t>0.$$ Тогда

   $$ t+\frac{1}{t}=\frac{41}{20} $$

   $$ t^2-\frac{41}{20}t+1=0 $$

   $$ t_{1,2}=\frac{41\pm 9}{40} $$

   $$ t_1=\frac54,\quad t_2=\frac45. $$

   Если $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac54,$$ то $$\frac{x}{y}=\frac{25}{16},$$ значит $$x=\frac{25}{16}y.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$ \frac{25}{16}y+y=41 \Rightarrow \frac{41}{16}y=41 \Rightarrow y=16,\quad x=25. $$

   Если $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac45,$$ то $$\frac{x}{y}=\frac{16}{25},$$ значит $$x=\frac{16}{25}y.$$ Тогда

   $$ \frac{16}{25}y+y=41 \Rightarrow \frac{41}{25}y=41 \Rightarrow y=25,\quad x=16. $$

   Ответ: $$(25;16),\ (16;25).$$

2. $$ \begin{cases} x+y=10,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4. \end{cases} $$

   Возведём второе уравнение в квадрат:

   $$ x+2\sqrt{xy}+y=16. $$

   С учётом $$x+y=10$$ получаем

   $$ 10+2\sqrt{xy}=16 \Rightarrow \sqrt{xy}=3. $$

   Тогда $$xy=9.$$ Решаем систему

   $$ \begin{cases} x+y=10,\\ xy=9. \end{cases} $$

   Корни уравнения $$t^2-10t+9=0$$ равны $$t_1=1,\ t_2=9.$$

   Следовательно, $$ (x,y)=(1,9) $$ или $$ (9,1). $$

   Ответ: $$(1;9),\ (9;1).$$

3. $$ \begin{cases} x+y=5,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=3. \end{cases} $$

   Возведём второе уравнение в квадрат:

   $$ x+2\sqrt{xy}+y=9. $$

   Так как $$x+y=5,$$ то

   $$ 5+2\sqrt{xy}=9 \Rightarrow \sqrt{xy}=2. $$

   Значит, $$xy=4.$$ Получаем систему

   $$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=4. \end{cases} $$

   Корни уравнения $$t^2-5t+4=0$$: $$t_1=1,\ t_2=4.$$

   Ответ: $$(1;4),\ (4;1).$$

4. $$ \begin{cases} x-y=13,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1. \end{cases} $$

   Обозначим $$a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} a^2-b^2=13,\\ a-b=1. \end{cases} $$

   Разложим разность квадратов:

   $$ (a-b)(a+b)=13. $$

   Так как $$a-b=1,$$ то $$a+b=13.$$ Решаем систему

   $$ \begin{cases} a-b=1,\\ a+b=13. \end{cases} $$

   $$ 2a=14 \Rightarrow a=7,\quad 2b=12 \Rightarrow b=6. $$

   Тогда $$x=a^2=49,\ y=b^2=36.$$

   Ответ: $$(49;36).$$

5. Точки пересечения графиков находим из равенства правых частей.

   1) $$ \begin{cases} y=4x^2+4x+1,\\ y=2x+1. \end{cases} $$

   $$ 4x^2+4x+1=2x+1 $$

   $$ 4x^2+2x=0 $$

   $$ 2x(2x+1)=0 $$

   $$ x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac12. $$

   Тогда $$y=1$$ и $$y=0.$$

   Ответ: $$(0;1),\ \left(-\frac12;0\right).$$

   2) $$ \begin{cases} y=x^2-8x+15,\\ y=\frac23x-2. \end{cases} $$

   $$ x^2-8x+15=\frac23x-2 $$

   $$ 3x^2-24x+45=2x-6 $$

   $$ 3x^2-26x+51=0 $$

   $$ D=26^2-4\cdot 3\cdot 51=16 $$

   $$ x_{1,2}=\frac{26\pm 4}{6} $$

   $$ x_1=3,\quad x_2=\frac{17}{3}. $$

   Тогда

   $$ y_1=\frac23\cdot 3-2=0,\quad y_2=\frac23\cdot \frac{17}{3}-2=\frac{16}{9}. $$

   Ответ: $$(3;0),\ \left(\frac{17}{3};\frac{16}{9}\right).$$

   3) $$ \begin{cases} y=x^2-3\sqrt2\,x+4,\\ y=\frac{\sqrt2}{2}x-1. \end{cases} $$

   $$ x^2-3\sqrt2\,x+4=\frac{\sqrt2}{2}x-1 $$

   $$ 2x^2-6\sqrt2\,x+8=\sqrt2\,x-2 $$

   $$ 2x^2-7\sqrt2\,x+10=0 $$

   $$ D=(7\sqrt2)^2-4\cdot 2\cdot 10=18 $$

   $$ x_{1,2}=\frac{7\sqrt2\pm 3\sqrt2}{4} $$

   $$ x_1=\sqrt2,\quad x_2=\frac{5\sqrt2}{2}. $$

   Тогда

   $$ y_1=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \sqrt2-1=0,\quad y_2=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{5\sqrt2}{2}-1=\frac32. $$

   Ответ: $$(\sqrt2;0),\ \left(\frac{5\sqrt2}{2};\frac32\right).$$

   4) $$ \begin{cases} y=\sqrt3\,x^2+3x,\\ y=\frac{\sqrt3}{3}x+1. \end{cases} $$

   $$ \sqrt3\,x^2+3x=\frac{\sqrt3}{3}x+1 $$

   $$ 3\sqrt3\,x^2+9x-\sqrt3\,x-3=0 $$

   $$ (\sqrt3\,x+3)(3x-1)=0 $$

   Отсюда

   $$ x=-\sqrt3 \quad \text{или} \quad x=\frac13. $$

   Тогда

   $$ y=0 \quad \text{или} \quad y=\frac{\sqrt3}{9}+1. $$

   Ответ: $$(-\sqrt3;0),\ \left(\frac13;\frac{\sqrt3}{9}+1\right).$$