Упр.585 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

$$\begin{cases} x+y=41,\\ \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{41}{20}. \end{cases}$$

Сделаем замену: $$\sqrt{\frac{x}{y}}=t,\quad \sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{1}{t},\quad t>0.$$ Тогда

$$t+\frac{1}{t}=\frac{41}{20}$$

$$t^2-\frac{41}{20}t+1=0$$

$$t_{1,2}=\frac{41\pm 9}{40}$$

$$t_1=\frac54,\quad t_2=\frac45.$$

Если $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac54,$$ то $$\frac{x}{y}=\frac{25}{16},$$ значит $$x=\frac{25}{16}y.$$ Подставим в первое уравнение:

$$\frac{25}{16}y+y=41 \Rightarrow \frac{41}{16}y=41 \Rightarrow y=16,\quad x=25.$$

Если $$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac45,$$ то $$\frac{x}{y}=\frac{16}{25},$$ значит $$x=\frac{16}{25}y.$$ Тогда

$$\frac{16}{25}y+y=41 \Rightarrow \frac{41}{25}y=41 \Rightarrow y=25,\quad x=16.$$

Ответ: $$(25;16),\ (16;25).$$

$$\begin{cases} x+y=10,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4. \end{cases}$$

Возведём второе уравнение в квадрат:

$$x+2\sqrt{xy}+y=16.$$

С учётом $$x+y=10$$ получаем

$$10+2\sqrt{xy}=16 \Rightarrow \sqrt{xy}=3.$$

Тогда $$xy=9.$$ Решаем систему

$$\begin{cases} x+y=10,\\ xy=9. \end{cases}$$

Корни уравнения $$t^2-10t+9=0$$ равны $$t_1=1,\ t_2=9.$$

Следовательно, $$(x,y)=(1,9)$$ или $$(9,1).$$

Ответ: $$(1;9),\ (9;1).$$

$$\begin{cases} x+y=5,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=3. \end{cases}$$

Возведём второе уравнение в квадрат:

$$x+2\sqrt{xy}+y=9.$$

Так как $$x+y=5,$$ то

$$5+2\sqrt{xy}=9 \Rightarrow \sqrt{xy}=2.$$

Значит, $$xy=4.$$ Получаем систему

$$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=4. \end{cases}$$

Корни уравнения $$t^2-5t+4=0$$: $$t_1=1,\ t_2=4.$$

Ответ: $$(1;4),\ (4;1).$$

$$\begin{cases} x-y=13,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1. \end{cases}$$

Обозначим $$a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}.$$ Тогда

$$\begin{cases} a^2-b^2=13,\\ a-b=1. \end{cases}$$

Разложим разность квадратов:

$$(a-b)(a+b)=13.$$

Так как $$a-b=1,$$ то $$a+b=13.$$ Решаем систему

$$\begin{cases} a-b=1,\\ a+b=13. \end{cases}$$

$$2a=14 \Rightarrow a=7,\quad 2b=12 \Rightarrow b=6.$$

Тогда $$x=a^2=49,\ y=b^2=36.$$

Ответ: $$(49;36).$$

Точки пересечения графиков находим из равенства правых частей.

1) $$\begin{cases} y=4x^2+4x+1,\\ y=2x+1. \end{cases}$$

$$4x^2+4x+1=2x+1$$

$$4x^2+2x=0$$

$$2x(2x+1)=0$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac12.$$

Тогда $$y=1$$ и $$y=0.$$

Ответ: $$(0;1),\ \left(-\frac12;0\right).$$

2) $$\begin{cases} y=x^2-8x+15,\\ y=\frac23x-2. \end{cases}$$

$$x^2-8x+15=\frac23x-2$$

$$3x^2-24x+45=2x-6$$

$$3x^2-26x+51=0$$

$$D=26^2-4\cdot 3\cdot 51=16$$

$$x_{1,2}=\frac{26\pm 4}{6}$$

$$x_1=3,\quad x_2=\frac{17}{3}.$$

Тогда

$$y_1=\frac23\cdot 3-2=0,\quad y_2=\frac23\cdot \frac{17}{3}-2=\frac{16}{9}.$$

Ответ: $$(3;0),\ \left(\frac{17}{3};\frac{16}{9}\right).$$

3) $$\begin{cases} y=x^2-3\sqrt2\,x+4,\\ y=\frac{\sqrt2}{2}x-1. \end{cases}$$

$$x^2-3\sqrt2\,x+4=\frac{\sqrt2}{2}x-1$$

$$2x^2-6\sqrt2\,x+8=\sqrt2\,x-2$$

$$2x^2-7\sqrt2\,x+10=0$$

$$D=(7\sqrt2)^2-4\cdot 2\cdot 10=18$$

$$x_{1,2}=\frac{7\sqrt2\pm 3\sqrt2}{4}$$

$$x_1=\sqrt2,\quad x_2=\frac{5\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \sqrt2-1=0,\quad y_2=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{5\sqrt2}{2}-1=\frac32.$$

Ответ: $$(\sqrt2;0),\ \left(\frac{5\sqrt2}{2};\frac32\right).$$

4) $$\begin{cases} y=\sqrt3\,x^2+3x,\\ y=\frac{\sqrt3}{3}x+1. \end{cases}$$

$$\sqrt3\,x^2+3x=\frac{\sqrt3}{3}x+1$$

$$3\sqrt3\,x^2+9x-\sqrt3\,x-3=0$$

$$(\sqrt3\,x+3)(3x-1)=0$$

Отсюда

$$x=-\sqrt3 \quad \text{или} \quad x=\frac13.$$

Тогда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=\frac{\sqrt3}{9}+1.$$

Ответ: $$(-\sqrt3;0),\ \left(\frac13;\frac{\sqrt3}{9}+1\right).$$