Упр.584 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x^3+27y^3=54
x^2-3xy+9y^2=9)+
2) {(x^2-xy+y^2=19
x^2+xy+y^2=49)+
3) {(x^3-y^3=72
x-y=6)+
4) {(x^2+5xy+y^2=25
5x+y=8)+
Найти значения x, при которых функции y=x^2+2x-3 и y=2x+1 принимают равные значения.

1. $$\begin{cases} x^3+27y^3=54,\\ x^2-3xy+9y^2=9. \end{cases}$$
   Используем формулу суммы кубов:
   $$x^3+27y^3=(x+3y)(x^2-3xy+9y^2).$$
   Тогда
   $$\frac{x^3+27y^3}{x^2-3xy+9y^2}= \frac{54}{9}=6,$$
   откуда
   $$x+3y=6.$$
   Значит,
   $$3y=6-x.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2-x(6-x)+(6-x)^2=9.$$
   Получаем:
   $$x^2-6x+x^2+36-12x+x^2=9,$$
   $$3x^2-18x+27=0,$$
   $$x^2-6x+9=0,$$
   $$\left(x-3\right)^2=0,$$
   $$x=3.$$
   Тогда
   $$3y=6-3=3,\quad y=1.$$

   Ответ: $$\left(3;1\right).$$

2. $$\begin{cases} x^2-xy+y^2=19,\\ x^2+xy+y^2=49. \end{cases}$$
   Сложим и вычтем уравнения:
   $$2x^2+2y^2=68,$$
   $$2xy=30.$$
   Тогда
   $$x^2+y^2=34,\quad xy=15.$$
   Найдём сумму:
   $$x^2+2xy+y^2=64,$$
   $$\left(x+y\right)^2=64.$$
   Значит,
   $$x+y=8 \quad \text{или} \quad x+y=-8.$$
   Если $$x+y=8,$$ то числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-8t+15=0,$$
   откуда
   $$t=3 \text{ или } 5.$$
   Получаем пары:
   $$\left(3;5\right),\ \left(5;3\right).$$
   Если $$x+y=-8,$$ то
   $$t^2+8t+15=0,$$
   откуда
   $$t=-3 \text{ или } -5.$$
   Получаем пары:
   $$\left(-3;-5\right),\ \left(-5;-3\right).$$

   Ответ: $$\left(3;5\right),\ \left(5;3\right),\ \left(-5;-3\right),\ \left(-3;-5\right).$$

3. $$\begin{cases} x^3-y^3=72,\\ x-y=6. \end{cases}$$
   Используем формулу разности кубов:
   $$x^3-y^3=(x-y)\left(x^2+xy+y^2\right).$$
   Тогда
   $$\frac{x^3-y^3}{x-y}=\frac{72}{6}=12,$$
   значит,
   $$x^2+xy+y^2=12.$$
   Из $$x-y=6$$ получаем
   $$x=6+y.$$
   Подставим:
   $$(6+y)^2+y(6+y)+y^2=12.$$
   Тогда
   $$36+12y+y^2+6y+y^2+y^2=12,$$
   $$3y^2+18y+24=0,$$
   $$y^2+6y+8=0,$$
   $$\left(y+2\right)\left(y+4\right)=0.$$
   Отсюда
   $$y=-2 \text{ или } y=-4.$$
   Тогда
   $$x=4 \text{ или } x=2.$$

   Ответ: $$\left(2;-4\right),\ \left(4;-2\right).$$

4. $$\begin{cases} x^2+5xy+y^2=25,\\ 5x+y=8. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=8-5x.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+5x(8-5x)+(8-5x)^2=25.$$
   Раскроем скобки:
   $$x^2+40x-25x^2+64-80x+25x^2=25,$$
   $$x^2-40x+64=25,$$
   $$x^2-40x+39=0.$$
   Тогда
   $$\left(x-1\right)\left(x-39\right)=0,$$
   откуда
   $$x=1 \text{ или } x=39.$$
   Найдём $$y$$:
   $$x=1 \Rightarrow y=8-5\cdot1=3,$$
   $$x=39 \Rightarrow y=8-5\cdot39=-187.$$

   Ответ: $$\left(1;3\right),\ \left(39;-187\right).$$

5. Приравняем значения функций:
   $$x^2+2x-3=2x+1.$$
   Тогда
   $$x^2-4=0,$$
   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0.$$
   Следовательно,
   $$x=2 \text{ или } x=-2.$$

   Ответ: $$x=\pm 2.$$