Упр.583 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^3+y^3=28
xy^2+x^2 y=12)+
2) {(xy^2+xy^3=10
x+xy=10)+
Найти коэффициенты p и q квадратичной функции y=x^2+px+q, если известны нули x_1 и x_2 этой функции:
1) x_1=2, x_2=3;
2) x_1=-4, x_2=1;
3) x_1=-1, x_2=-2;
4) x_1=5, x_2=-3.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} x^3+y^3=28,\\ xy^2+x^2y=12. \end{cases} $$
Так как $$xy^2+x^2y=xy(x+y)$$, а $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$, то при $$x\neq 0$$, $$y\neq 0$$, $$x+y\neq 0$$ получаем
$$ \frac{x^3+y^3}{xy^2+x^2y}=\frac{28}{12}=\frac73. $$
Тогда
$$ \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)}=\frac73, $$
откуда
$$ \frac{x^2-xy+y^2}{xy}=\frac73. $$
Умножим на $$3xy$$:
$$ 3x^2-3xy+3y^2=7xy, $$
$$ 3x^2-10xy+3y^2=0. $$
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$x$$:
$$ 3x^2-10yx+3y^2=0. $$
Тогда
$$ D=(10y)^2-4\cdot 3\cdot 3y^2=100y^2-36y^2=64y^2, $$
$$ x_{1,2}=\frac{10y\pm 8y}{6}. $$
Следовательно,
$$ x_1=\frac y3,\qquad x_2=3y. $$
1) Если $$x=\frac y3$$, то из второго уравнения:
$$ xy^2+x^2y=12, $$
$$ \frac13y^3+\frac19y^3=12, $$
$$ \frac49y^3=12, $$
$$ y^3=27,\qquad y=3. $$
Тогда $$x=1$$.
2) Если $$x=3y$$, то
$$ xy^2+x^2y=12, $$
$$ 3y^3+9y^3=12, $$
$$ 12y^3=12,\qquad y^3=1,\qquad y=1. $$
Тогда $$x=3$$.
Получаем решения системы:
$$ (1;3),\ (3;1). $$
Найдём коэффициенты $$p$$ и $$q$$ функции $$y=x^2+px+q$$ по её нулям $$x_1$$ и $$x_2$$.
Для квадратного трёхчлена
$$ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. $$
1) Если $$x_1=2$$, $$x_2=3$$, то
$$ p=-(2+3)=-5,\qquad q=2\cdot 3=6. $$
2) Если $$x_1=-4$$, $$x_2=1$$, то
$$ p=-(-4+1)=3,\qquad q=(-4)\cdot 1=-4. $$
3) Если $$x_1=-1$$, $$x_2=-2$$, то
$$ p=-(-1-2)=3,\qquad q=(-1)\cdot(-2)=2. $$
4) Если $$x_1=5$$, $$x_2=-3$$, то
$$ p=-(5-3)=-2,\qquad q=5\cdot(-3)=-15. $$