Упр.582 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

$$\begin{cases} x^2-y=7,\\ x^2y=18 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x^2=7+y.$$
Подставим во второе:
$$(7+y)y=18,$$
$$y^2+7y-18=0.$$
По теореме Виета:
$$y=2 \text{ или } y=-9.$$
При $$y=2$$ получаем $$x^2=9,$$ значит $$x=3$$ или $$x=-3.$$
При $$y=-9$$ получаем $$x^2=-2,$$ действительных корней нет.

Ответ: $$(-3;2),\ (3;2).$$

$$\begin{cases} 2x^2+y=3,\\ x^2y-1=0 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x^2=\frac{3-y}{2}.$$
Подставим во второе:
$$\frac{3-y}{2}\,y-1=0,$$
$$3y-y^2-2=0,$$
$$y^2-3y+2=0.$$
По теореме Виета:
$$y=1 \text{ или } y=2.$$
Если $$y=2,$$ то $$x^2=\frac12,$$ значит $$x=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$
Если $$y=1,$$ то $$x^2=1,$$ значит $$x=\pm 1.$$

Ответ: $$\left(\frac{1}{\sqrt2};2\right),\ \left(-\frac{1}{\sqrt2};2\right),\ (1;1),\ (-1;1).$$

$$\begin{cases} x^2-y^2=12,\\ x^2+y^2=20 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x^2=32,$$
$$x^2=16,$$
$$x=\pm 4.$$
Тогда
$$y^2=20-16=4,$$
$$y=\pm 2.$$

Ответ: $$(4;2),\ (4;-2),\ (-4;2),\ (-4;-2).$$

$$\begin{cases} x^2-y^2=21,\\ x^2+y^2=29 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x^2=50,$$
$$x^2=25,$$
$$x=\pm 5.$$
Тогда
$$y^2=29-25=4,$$
$$y=\pm 2.$$

Ответ: $$(5;2),\ (5;-2),\ (-5;2),\ (-5;-2).$$

$$y=x^2-x.$$
Нули функции найдём из уравнения:
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0.$$
Значит,
$$x=0 \text{ или } x=1.$$

Ответ: $$x=0,\ x=1.$$

$$y=x^2+3.$$
Тогда
$$x^2+3=0,$$
$$x^2=-3.$$
Действительных корней нет.

Ответ: нулей функции нет.

$$y=-6x^2+7x-2.$$
Решаем уравнение:
$$-6x^2+7x-2=0,$$
$$6x^2-7x+2=0.$$
Дискриминант:
$$D=49-4\cdot 6\cdot 2=1.$$
Тогда
$$x_1=\frac{7-1}{2\cdot 6}=\frac12,\qquad x_2=\frac{7+1}{2\cdot 6}=\frac23.$$

Ответ: $$x=\frac12,\ x=\frac23.$$

$$y=3x^2-5x+8.$$
Ищем нули функции:
$$3x^2-5x+8=0.$$
Дискриминант:
$$D=25-4\cdot 3\cdot 8=-71<0.$$ Действительных корней нет.

Ответ: нулей функции нет.

$$y=2x^2-7x+9.$$
Решаем уравнение:
$$2x^2-7x+9=0.$$
Дискриминант:
$$D=49-4\cdot 2\cdot 9=-23<0.$$ Действительных корней нет.

Ответ: нулей функции нет.

$$y=8x^2+8x+2.$$
Решаем уравнение:
$$8x^2+8x+2=0,$$
$$4x^2+4x+1=0,$$
$$\left(2x+1\right)^2=0.$$
Тогда
$$2x+1=0,$$
$$x=-\frac12.$$

Ответ: $$x=-\frac12.$$

$$y=\frac12x^2-x+\frac12.$$
Решаем уравнение:
$$\frac12x^2-x+\frac12=0,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0.$$
Тогда
$$x=1.$$

Ответ: $$x=1.$$

$$y=2x^2+x-1.$$
Решаем уравнение:
$$2x^2+x-1=0.$$
Дискриминант:
$$D=1+8=9.$$
Тогда
$$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=-1,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac12.$$

Ответ: $$x=-1,\ x=\frac12.$$

$$y=3x^2+5x-2.$$
Решаем уравнение:
$$3x^2+5x-2=0.$$
Дискриминант:
$$D=25+24=49.$$
Тогда
$$x_1=\frac{-5-7}{2\cdot 3}=-2,\qquad x_2=\frac{-5+7}{2\cdot 3}=\frac13.$$

Ответ: $$x=-2,\ x=\frac13.$$