Упр.582 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x^2-y=7
x^2 y=18)+
2) {(2x^2+y=3
x^2 y-1=0)+
3) {(x^2-y^2=12
x^2+y^2=20)+
4) {(x^2-y^2=21
x^2+y^2=29)+
Найти нули квадратичной функции:
1) y=x^2-x;
2) y=x^2+3;
3) y=-6x^2+7x-2;
4) y=3x^2-5x+8;
5) y=2x^2-7x+9;
6) y=8x^2+8x+2;
7) y=1/2 x^2-x+1/2;
8) y=2x^2+x-1;
9) y=3x^2+5x-2.

1. $$\begin{cases} x^2-y=7,\\ x^2y=18 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2=7+y.$$
   Подставим во второе:
   $$ (7+y)y=18,$$
   $$y^2+7y-18=0.$$
   По теореме Виета:
   $$y=2 \text{ или } y=-9.$$
   При $$y=2$$ получаем $$x^2=9,$$ значит $$x=3$$ или $$x=-3.$$
   При $$y=-9$$ получаем $$x^2=-2,$$ действительных корней нет.

   Ответ: $$(-3;2),\ (3;2).$$

2. $$\begin{cases} 2x^2+y=3,\\ x^2y-1=0 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2=\frac{3-y}{2}.$$
   Подставим во второе:
   $$\frac{3-y}{2}\,y-1=0,$$
   $$3y-y^2-2=0,$$
   $$y^2-3y+2=0.$$
   По теореме Виета:
   $$y=1 \text{ или } y=2.$$
   Если $$y=2,$$ то $$x^2=\frac12,$$ значит $$x=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$
   Если $$y=1,$$ то $$x^2=1,$$ значит $$x=\pm 1.$$

   Ответ: $$\left(\frac{1}{\sqrt2};2\right),\ \left(-\frac{1}{\sqrt2};2\right),\ (1;1),\ (-1;1).$$

3. $$\begin{cases} x^2-y^2=12,\\ x^2+y^2=20 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x^2=32,$$
   $$x^2=16,$$
   $$x=\pm 4.$$
   Тогда
   $$y^2=20-16=4,$$
   $$y=\pm 2.$$

   Ответ: $$ (4;2),\ (4;-2),\ (-4;2),\ (-4;-2).$$

4. $$\begin{cases} x^2-y^2=21,\\ x^2+y^2=29 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x^2=50,$$
   $$x^2=25,$$
   $$x=\pm 5.$$
   Тогда
   $$y^2=29-25=4,$$
   $$y=\pm 2.$$

   Ответ: $$ (5;2),\ (5;-2),\ (-5;2),\ (-5;-2).$$

5. $$y=x^2-x.$$
   Нули функции найдём из уравнения:
   $$x^2-x=0,$$
   $$x(x-1)=0.$$
   Значит,
   $$x=0 \text{ или } x=1.$$

   Ответ: $$x=0,\ x=1.$$

6. $$y=x^2+3.$$
   Тогда
   $$x^2+3=0,$$
   $$x^2=-3.$$
   Действительных корней нет.

   Ответ: нулей функции нет.

7. $$y=-6x^2+7x-2.$$
   Решаем уравнение:
   $$-6x^2+7x-2=0,$$
   $$6x^2-7x+2=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=49-4\cdot 6\cdot 2=1.$$
   Тогда
   $$x_1=\frac{7-1}{2\cdot 6}=\frac12,\qquad x_2=\frac{7+1}{2\cdot 6}=\frac23.$$

   Ответ: $$x=\frac12,\ x=\frac23.$$

8. $$y=3x^2-5x+8.$$
   Ищем нули функции:
   $$3x^2-5x+8=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=25-4\cdot 3\cdot 8=-71<0.$$ Действительных корней нет.

   Ответ: нулей функции нет.

9. $$y=2x^2-7x+9.$$
   Решаем уравнение:
   $$2x^2-7x+9=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=49-4\cdot 2\cdot 9=-23<0.$$ Действительных корней нет.

   Ответ: нулей функции нет.

10. $$y=8x^2+8x+2.$$
    Решаем уравнение:
    $$8x^2+8x+2=0,$$
    $$4x^2+4x+1=0,$$
    $$\left(2x+1\right)^2=0.$$
    Тогда
    $$2x+1=0,$$
    $$x=-\frac12.$$

    Ответ: $$x=-\frac12.$$

11. $$y=\frac12x^2-x+\frac12.$$
    Решаем уравнение:
    $$\frac12x^2-x+\frac12=0,$$
    $$x^2-2x+1=0,$$
    $$\left(x-1\right)^2=0.$$
    Тогда
    $$x=1.$$

    Ответ: $$x=1.$$

12. $$y=2x^2+x-1.$$
    Решаем уравнение:
    $$2x^2+x-1=0.$$
    Дискриминант:
    $$D=1+8=9.$$
    Тогда
    $$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=-1,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac12.$$

    Ответ: $$x=-1,\ x=\frac12.$$

13. $$y=3x^2+5x-2.$$
    Решаем уравнение:
    $$3x^2+5x-2=0.$$
    Дискриминант:
    $$D=25+24=49.$$
    Тогда
    $$x_1=\frac{-5-7}{2\cdot 3}=-2,\qquad x_2=\frac{-5+7}{2\cdot 3}=\frac13.$$

    Ответ: $$x=-2,\ x=\frac13.$$