Упр.581 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1,\\ x+y=4 \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$\dfrac{x+y}{xy}=1.$$
   Так как $$x+y=4,$$ получаем
   $$\dfrac{4}{xy}=1,\quad xy=4.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=4 \end{cases}$$
   По теореме, обратной теореме Виета:
   $$x=2,\ y=2.$$

2. $$\begin{cases} \dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{3}{2},\\ xy=80 \end{cases}$$
   Перемножим крест-накрест:
   $$2(x+y)=3(x-y).$$
   Тогда
   $$2x+2y=3x-3y,$$
   $$x=5y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$5y\cdot y=80,$$
   $$5y^2=80,$$
   $$y^2=16,$$
   $$y=\pm 4.$$
   Если $$y=4,$$ то $$x=20.$$
   Если $$y=-4,$$ то $$x=-20.$$

3. $$\begin{cases} x-y=3,\\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-0{,}3 \end{cases}$$
   Преобразуем второе уравнение:
   $$\dfrac{y-x}{xy}=-0{,}3.$$
   Так как $$y-x=-3,$$ получаем
   $$\dfrac{-3}{xy}=-0{,}3,$$
   $$xy=10.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x-y=3,\\ xy=10 \end{cases}$$
   Пусть $$x=\dfrac{10}{y}.$$ Подставим:
   $$\dfrac{10}{y}-y=3,$$
   $$10-y^2=3y,$$
   $$y^2+3y-10=0.$$
   $$\left(y+5\right)\left(y-2\right)=0,$$
   значит,
   $$y=-5 \text{ или } y=2.$$
   Тогда
   $$x=-2 \text{ или } x=5.$$

4. $$\begin{cases} x+y=9,\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=0{,}5 \end{cases}$$
   Преобразуем второе уравнение:
   $$\dfrac{x+y}{xy}=0{,}5.$$
   Так как $$x+y=9,$$ имеем
   $$\dfrac{9}{xy}=0{,}5,$$
   $$xy=18.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x+y=9,\\ xy=18 \end{cases}$$
   По теореме, обратной теореме Виета:
   $$x=6,\ y=3 \quad \text{или} \quad x=3,\ y=6.$$

Нули квадратичной функции находим из уравнения $$y=0$$.

1. $$y=x^2+2x$$
   $$x^2+2x=0$$
   $$x(x+2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-2.$$
   Из данных чисел нулями функции являются $$-2$$ и $$0.$$

2. $$y=x^2+x$$
   $$x^2+x=0$$
   $$x(x+1)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-1.$$
   Из данных чисел нулями функции являются $$-1$$ и $$0.$$

3. $$y=x^2-3$$
   $$x^2-3=0$$
   $$x^2=3$$
   $$x=\pm \sqrt{3}.$$
   Из данных чисел нулями функции являются $$-\sqrt{3}$$ и $$\sqrt{3}.$$

4. $$y=5x^2-4x-1$$
   $$5x^2-4x-1=0$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-1)=16+20=36,$$
   $$x=\dfrac{4\pm \sqrt{36}}{2\cdot 5}=\dfrac{4\pm 6}{10}.$$
   Тогда
   $$x_1=-0{,}2,\quad x_2=1.$$
   Из данных чисел нулями функции являются $$-0{,}2$$ и $$1.$$

Ответ

1) $$(2;2)$$;
2) $$(-20;-4),\ (20;4)$$;
3) $$(-2;-5),\ (5;2)$$;
4) $$(6;3),\ (3;6)$$.

Нули функций:
1) $$-2,\ 0$$;
2) $$-1,\ 0$$;
3) $$-\sqrt{3},\ \sqrt{3}$$;
4) $$-0{,}2,\ 1$$.