Упр.580 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x^2+y^2=10
xy=3)+
2) {(x^2-xy+y^2=19
xy=15)+
3) {(x^2+4xy+y^2=94
xy=15)+
4) {(x^2-6xy+y^2=8
xy=7)+
При каких действительных значениях x квадратичная функция y=-4x^2+3x-1 принимает значение, равное:
1) -2; 2) -8; 3) -0,5; 4) -1?

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=10,\\ xy=3. \end{cases}$$
   Сложим уравнения после умножения второго на $$2$$:
   $$x^2+2xy+y^2=10+6=16.$$
   Тогда
   $$(x+y)^2=16,$$
   значит,
   $$x+y=4 \text{ или } x+y=-4.$$
   По теореме, обратной теореме Виета, получаем пары:
   $$(x,y)=(3,1),\ (1,3),\ (-3,-1),\ (-1,-3).$$

2. $$\begin{cases} x^2-xy+y^2=19,\\ xy=15. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$3$$:
   $$x^2+2xy+y^2=19+30=64.$$
   Тогда
   $$(x+y)^2=64,$$
   значит,
   $$x+y=8 \text{ или } x+y=-8.$$
   По теореме, обратной теореме Виета:
   $$(x,y)=(3,5),\ (5,3),\ (-3,-5),\ (-5,-3).$$

3. $$\begin{cases} x^2+4xy+y^2=94,\\ xy=15. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$:
   $$x^2+2xy+y^2=94-30=64.$$
   Тогда
   $$(x+y)^2=64,$$
   значит,
   $$x+y=8 \text{ или } x+y=-8.$$
   По теореме, обратной теореме Виета:
   $$(x,y)=(3,5),\ (5,3),\ (-5,-3),\ (-3,-5).$$

4. $$\begin{cases} x^2-6xy+y^2=8,\\ xy=7. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$8$$:
   $$x^2+2xy+y^2=8+56=64.$$
   Тогда
   $$(x+y)^2=64,$$
   значит,
   $$x+y=8 \text{ или } x+y=-8.$$
   По теореме, обратной теореме Виета:
   $$(x,y)=(7,1),\ (1,7),\ (-1,-7),\ (-7,-1).$$

5. $$y=-4x^2+3x-1.$$
   Найдём, при каких $$x$$ функция принимает заданные значения.

   1) $$-4x^2+3x-1=-2$$
   $$4x^2-3x-1=0$$
   $$D=9+16=25,$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{8}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-\frac14,\quad x_2=1.$$

   2) $$-4x^2+3x-1=-8$$
   $$4x^2-3x-7=0$$
   $$D=9+112=121,$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 11}{8}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac74.$$

   3) $$-4x^2+3x-1=-0{,}5$$
   $$4x^2-3x+0{,}5=0$$
   $$D=9-8=1,$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{8}.$$
   Отсюда
   $$x_1=\frac14,\quad x_2=\frac12.$$

   4) $$-4x^2+3x-1=-1$$
   $$4x^2-3x=0$$
   $$x(4x-3)=0.$$
   Тогда
   $$x=0 \text{ или } x=\frac34.$$

Ответ

1) $$(3;1),\ (1;3),\ (-3;-1),\ (-1;-3);$$
2) $$(3;5),\ (5;3),\ (-3;-5),\ (-5;-3);$$
3) $$(3;5),\ (5;3),\ (-5;-3),\ (-3;-5);$$
4) $$(7;1),\ (1;7),\ (-1;-7),\ (-7;-1);$$
5) при $$y=-2$$: $$x=-\frac14,\ 1;$$
при $$y=-8$$: $$x=-1,\ \frac74;$$
при $$y=-0{,}5$$: $$x=\frac14,\ \frac12;$$
при $$y=-1$$: $$x=0,\ \frac34.$$