Упр.579 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(2x-3y=1
2x^2-xy-3y^2=3)+
2) {(x^3+y^3=133
x+y=7 )+
3) {(2x^2-2xy+x=-9
2y-3x=1)+
4) {(x^2+6xy+8y^2=91
x+3y-10=0)+
При каких действительных значениях x квадратичная функция y=x^2-x-3 принимает значение, равное:
1) -1; 2) -3; 3) -13/4; 4) -5?

1. $$\begin{cases} 2x-3y=1 \\ 2x^2-xy-3y^2=3 \end{cases}$$
   Разложим второе уравнение на множители:
   $$2x^2-xy-3y^2=2x^2+2xy-3xy-3y^2=(x+y)(2x-3y).$$
   Тогда
   $$\begin{cases} 2x-3y=1 \\ (x+y)(2x-3y)=3 \end{cases}$$
   Подставим $$2x-3y=1$$:
   $$x+y=3.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-3y=1 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$:
   $$\begin{cases} 3x+3y=9 \\ 2x-3y=1 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$5x=10,\quad x=2.$$
   Тогда
   $$y=3-2=1.$$

   Ответ: $$(2;1).$$

2. $$\begin{cases} x^3+y^3=133 \\ x+y=7 \end{cases}$$
   Используем формулу:
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
   Тогда
   $$7(x^2-xy+y^2)=133,$$
   откуда
   $$x^2-xy+y^2=19.$$
   Из $$x+y=7$$ получаем $$x=7-y$$. Подставим:
   $$(7-y)^2-y(7-y)+y^2=19.$$
   $$49-14y+y^2-7y+y^2+y^2=19,$$
   $$3y^2-21y+30=0,$$
   $$y^2-7y+10=0,$$
   $$(y-2)(y-5)=0.$$
   Значит, $$y=2$$ или $$y=5$$.
   Тогда соответственно $$x=5$$ или $$x=2$$.

   Ответ: $$(2;5),\ (5;2).$$

3. $$\begin{cases} 2x^2-2xy+x=-9 \\ 2y-3x=1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$2y=1+3x,\quad y=\frac{1+3x}{2}.$$
   Подставим в первое:
   $$2x^2-2x\cdot \frac{1+3x}{2}+x=-9.$$
   $$2x^2-x(1+3x)+x=-9,$$
   $$2x^2-x-3x^2+x+9=0,$$
   $$-x^2+9=0,$$
   $$x^2=9,$$
   $$x=\pm 3.$$
   Если $$x=-3$$, то
   $$2y-3(-3)=1,\quad 2y+9=1,\quad y=-4.$$
   Если $$x=3$$, то
   $$2y-9=1,\quad 2y=10,\quad y=5.$$

   Ответ: $$(-3;-4),\ (3;5).$$

4. $$\begin{cases} x^2+6xy+8y^2=91 \\ x+3y-10=0 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=10-3y.$$
   Подставим в первое:
   $$(10-3y)^2+6y(10-3y)+8y^2=91.$$
   $$100-60y+9y^2+60y-18y^2+8y^2=91,$$
   $$-y^2+9=0,$$
   $$y^2=9,$$
   $$y=\pm 3.$$
   Если $$y=3$$, то
   $$x=10-9=1.$$
   Если $$y=-3$$, то
   $$x=10+9=19.$$

   Ответ: $$(19;-3),\ (1;3).$$

Ход решения

1. $$y=x^2-x-3.$$
   1) При $$y=-1$$:
   $$x^2-x-3=-1,$$
   $$x^2-x-2=0,$$
   $$(x-2)(x+1)=0.$$
   Значит, $$x=-1$$ или $$x=2.$$

   Ответ: при $$x=-1$$; $$x=2$$.

2. При $$y=-3$$:
   $$x^2-x-3=-3,$$
   $$x^2-x=0,$$
   $$x(x-1)=0.$$
   Значит, $$x=0$$ или $$x=1.$$

   Ответ: при $$x=0$$; $$x=1$$.

3. При $$y=-\frac{13}{4}$$:
   $$x^2-x-3=-\frac{13}{4},$$
   $$4x^2-4x-12=-13,$$
   $$4x^2-4x+1=0,$$
   $$(2x-1)^2=0.$$
   Тогда
   $$2x-1=0,\quad x=\frac12.$$

   Ответ: при $$x=\frac12.$$

4. При $$y=-5$$:
   $$x^2-x-3=-5,$$
   $$x^2-x+2=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=1-8=-7<0.$$ Действительных корней нет.

   Ответ: нет таких $$x$$.