Упр.578 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2+y^2=34
xy=15)+
2) {(x^2+y^2=25
xy=12)+
(Устно.) Является ли квадратичной функция:
1) y=2x^2+x+3; 2) y=3x^2-1; 3) y=5x+1;
4) y=x^3+7x-1; 5) y=4x^2; 6) y=-3x^2+2x.

Подробный ответ

Сложим уравнения системы:
$$ x^2+y^2=34,\quad xy=15 $$
$$ x^2+2xy+y^2=34+30=64 $$
$$ (x+y)^2=64 $$
$$ x+y=8 \text{ или } x+y=-8 $$
Если $$x+y=8$$ и $$xy=15$$, то по теореме, обратной теореме Виета, получаем:
$$ x=3,\ y=5 \quad \text{или} \quad x=5,\ y=3 $$
Если $$x+y=-8$$ и $$xy=15$$, то:
$$ x=-5,\ y=-3 \quad \text{или} \quad x=-3,\ y=-5 $$
Сложим уравнения системы:
$$ x^2+y^2=25,\quad xy=12 $$
$$ x^2+2xy+y^2=25+24=49 $$
$$ (x+y)^2=49 $$
$$ x+y=7 \text{ или } x+y=-7 $$
Если $$x+y=7$$ и $$xy=12$$, то:
$$ x=3,\ y=4 \quad \text{или} \quad x=4,\ y=3 $$
Если $$x+y=-7$$ и $$xy=12$$, то:
$$ x=-3,\ y=-4 \quad \text{или} \quad x=-4,\ y=-3 $$
Квадратичная функция имеет вид $$y=ax^2+bx+c$$, где $$a\ne 0$$.
1) $$y=2x^2+x+3$$ — является квадратичной;
2) $$y=3x^2-1$$ — является квадратичной;
3) $$y=5x+1$$ — не является квадратичной;
4) $$y=x^3+7x-1$$ — не является квадратичной;
5) $$y=4x^2$$ — является квадратичной;
6) $$y=-3x^2+2x$$ — является квадратичной.