Упр.575 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}xy-x+y=7\\xy+x-y=13\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}xy-2(x+y)=2\\xy+x+y=29\end{cases}$$
2. Несколько спортсменов, уезжая после соревнований домой, обменялись сувенирами (каждый подарил каждому по одному сувениру). Сколько было спортсменов, если сувениров понадобилось 30?

1. Решим систему

   $$\begin{cases} xy-x+y=7,\\ xy+x-y=13. \end{cases}$$

   Сложим уравнения системы:

   $$2xy=20 \Rightarrow xy=10.$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$2x-2y=6 \Rightarrow x-y=3.$$

   Из $$x-y=3$$ получаем $$x=y+3$$. Подставим в $$xy=10$$:

   $$(y+3)y=10$$
   $$y^2+3y-10=0$$
   $$(y+5)(y-2)=0.$$

   Тогда $$y=-5$$ или $$y=2$$.

   Если $$y=-5$$, то $$x=-2$$; если $$y=2$$, то $$x=5$$.

   Получаем пары решений: $$(-2;\,-5)$$ и $$(5;\,2)$$.

2. Решим систему

   $$\begin{cases} xy-2(x+y)=2,\\ xy+x+y=29. \end{cases}$$

   Обозначим $$x+y=s$$, $$xy=p$$. Тогда

   $$\begin{cases} p-2s=2,\\ p+s=29. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$3s=27 \Rightarrow s=9.$$

   Тогда

   $$p=29-9=20.$$

   Итак, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

   $$t^2-9t+20=0$$
   $$(t-4)(t-5)=0.$$

   Следовательно, $$t=4$$ или $$t=5$$.

   Получаем пары решений: $$(5;\,4)$$ и $$(4;\,5)$$.

3. Пусть было $$x$$ спортсменов. Тогда каждый подарил сувенир каждому из остальных, значит, всего сувениров было

   $$x(x-1)=30.$$

   Решим уравнение:

   $$x^2-x-30=0$$
   $$(x-6)(x+5)=0.$$

   Отсюда $$x=6$$ или $$x=-5$$. Отрицательное значение не подходит.

Ответ

1) $$(-2;\,-5)$$, $$(5;\,2)$$; 2) $$(5;\,4)$$, $$(4;\,5)$$; 3) $$6$$ спортсменов.