Упр.575 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {(xy-x+y=7
xy+x-y=13)+
2) {(xy-2(x+y)=2
xy+x+y=29)+
Несколько спортсменов, уезжая после соревнований домой, обменялись сувенирами (каждый подарил каждому по одному сувениру). Сколько было спортсменов, если сувениров понадобилось 30?

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} xy-x+y=7,\\ xy+x-y=13. \end{cases} $$
Сложим уравнения системы:
$$ 2xy=20 \Rightarrow xy=10. $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 2x-2y=6 \Rightarrow x-y=3. $$
Из $x-y=3$ получаем $x=y+3$. Подставим в $xy=10$:
$$ (y+3)y=10 $$
$$ y^2+3y-10=0 $$
$$ (y+5)(y-2)=0. $$
Тогда $y=-5$ или $y=2$.
Если $y=-5$, то $x=-2$; если $y=2$, то $x=5$.
Получаем пары решений: $(-2;\,-5)$ и $(5;\,2)$.
Решим систему
$$ \begin{cases} xy-2(x+y)=2,\\ xy+x+y=29. \end{cases} $$
Обозначим $x+y=s$, $xy=p$. Тогда
$$ \begin{cases} p-2s=2,\\ p+s=29. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 3s=27 \Rightarrow s=9. $$
Тогда
$$ p=29-9=20. $$
Итак, числа $x$ и $y$ — корни уравнения
$$ t^2-9t+20=0 $$
$$ (t-4)(t-5)=0. $$
Следовательно, $t=4$ или $t=5$.
Получаем пары решений: $(5;\,4)$ и $(4;\,5)$.
Пусть было $x$ спортсменов. Тогда каждый подарил сувенир каждому из остальных, значит, всего сувениров было
$$ x(x-1)=30. $$
Решим уравнение:
$$ x^2-x-30=0 $$
$$ (x-6)(x+5)=0. $$
Отсюда $x=6$ или $x=-5$. Отрицательное значение не подходит.