Упр.574 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Расстояние от A до B по течению реки катер проходит в $$1{,}5$$ раза медленнее, чем теплоход, причём за каждый час катер отстаёт от теплохода на $$8$$ км. Против течения реки путь от B до A теплоход проходит в $$2$$ раза быстрее катера. Найти скорости теплохода и катера в стоячей воде.
- В чемпионате по волейболу было сыграно $$66$$ матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному разу?
Обозначим скорость катера в стоячей воде через $$x$$ км/ч, а скорость теплохода — через $$y$$ км/ч.
По условию катер по течению проходит путь в $$1{,}5$$ раза медленнее теплохода, значит, их скорости по течению относятся как $$1:1{,}5$$. Тогда можно записать:
$$\frac{x+v}{y+v}=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3},$$
где $$v$$ — скорость течения. Также известно, что за каждый час катер отстаёт от теплохода на $$8$$ км, то есть разность их скоростей по течению равна $$8$$:
$$y+v-(x+v)=8,$$
откуда
$$y-x=8.$$
Против течения теплоход проходит путь в $$2$$ раза быстрее катера, значит, их скорости против течения относятся как $$2:1$$:
$$\frac{y-v}{x-v}=2,$$
то есть
$$y-v=2(x-v).$$
Решим систему:
$$\begin{cases} y-x=8,\\ y-v=2(x-v). \end{cases}$$
Из первого уравнения $$y=x+8$$. Подставим во второе:
$$x+8-v=2x-2v,$$
$$8+v=x.$$
Тогда
$$y=x+8=16+8=24.$$
Скорость течения:
$$v=\frac{y-x}{2}=\frac{24-16}{2}=4.$$
Собственная скорость катера:
$$x-v=16-4=12,$$
собственная скорость теплохода:
$$y-v=24-4=20.$$
Теперь решим задачу про чемпионат. Пусть участвовало $$x$$ команд. Тогда число матчей равно числу пар команд:
$$\frac{x(x-1)}{2}=66.$$
Умножим на $$2$$:
$$x(x-1)=132,$$
$$x^2-x-132=0.$$
Найдём корни:
$$D=1+4\cdot132=529,$$
$$\sqrt{D}=23,$$
$$x=\frac{1\pm23}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-11$$ — не подходит,
$$x_2=12.$$
Ответ
$$12\text{ км/ч и }20\text{ км/ч};\ 12\text{ команд}.$$
