Упр.573 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x+y=5
x^3+y^3=35)+
2) {(x^3+y^3=152
x^2-xy+y^2=19)+
В первенстве по шахматам была сыграна 231 партия. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый с каждым играл по одному разу?

Подробный ответ

Используем формулу $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
Тогда из системы
$$\begin{cases} x+y=5,\\ x^3+y^3=35 \end{cases}$$
получаем
$$5(x^2-xy+y^2)=35,$$
значит,
$$x^2-xy+y^2=7.$$
Подставим $$x=5-y$$:
$$ (5-y)^2-y(5-y)+y^2=7 $$
$$ 25-10y+y^2-5y+y^2+y^2=7 $$
$$ 3y^2-15y+18=0 $$
$$ y^2-5y+6=0 $$
$$ (y-2)(y-3)=0. $$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=3$$.
Тогда $$x=3$$ или $$x=2$$ соответственно.
Получаем решения: $$ (2;3),\ (3;2). $$
Аналогично для системы
$$\begin{cases} x^3+y^3=152,\\ x^2-xy+y^2=19 \end{cases}$$
имеем
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=152. $$
Так как $$x^2-xy+y^2=19,$$ то
$$19(x+y)=152,$$
откуда
$$x+y=8.$$
Подставим $$x=8-y$$:
$$ (8-y)^2-y(8-y)+y^2=19 $$
$$ 64-16y+y^2-8y+y^2+y^2=19 $$
$$ 3y^2-24y+45=0 $$
$$ y^2-8y+15=0 $$
$$ (y-3)(y-5)=0. $$
Значит, $$y=3$$ или $$y=5$$.
Тогда $$x=5$$ или $$x=3$$ соответственно.
Получаем решения: $$ (3;5),\ (5;3). $$
Пусть в турнире участвовало $$x$$ шахматистов. Тогда число партий равно
$$ \frac{x(x-1)}{2}=231. $$
Умножим на 2:
$$ x^2-x=462 $$
$$ x^2-x-462=0. $$
Найдём корни:
$$ D=1+4\cdot 462=1849=43^2, $$
$$ x=\frac{1\pm 43}{2}. $$
Получаем
$$ x_1=-21,\quad x_2=22. $$
Отрицательное значение не подходит, значит,
$$x=22.$$