Упр.573 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   
   1) $$\begin{cases} x+y=5 \\ x^3+y^3=35 \end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases} x^3+y^3=152 \\ x^2-xy+y^2=19 \end{cases}$$
2. В первенстве по шахматам была сыграна 231 партия. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый с каждым играл по одному разу?

1. Используем формулу $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

   Тогда из системы
   $$\begin{cases} x+y=5,\\ x^3+y^3=35 \end{cases}$$
   получаем
   $$5(x^2-xy+y^2)=35,$$
   значит,
   $$x^2-xy+y^2=7.$$

   Подставим $$x=5-y$$:
   $$(5-y)^2-y(5-y)+y^2=7$$
   $$25-10y+y^2-5y+y^2+y^2=7$$
   $$3y^2-15y+18=0$$
   $$y^2-5y+6=0$$
   $$(y-2)(y-3)=0.$$
   Отсюда $$y=2$$ или $$y=3$$.

   Тогда $$x=3$$ или $$x=2$$ соответственно.

   Получаем решения: $$(2;3),\ (3;2).$$

2. Аналогично для системы
   $$\begin{cases} x^3+y^3=152,\\ x^2-xy+y^2=19 \end{cases}$$
   имеем
   $$(x+y)(x^2-xy+y^2)=152.$$
   Так как $$x^2-xy+y^2=19,$$ то
   $$19(x+y)=152,$$
   откуда
   $$x+y=8.$$

   Подставим $$x=8-y$$:
   $$(8-y)^2-y(8-y)+y^2=19$$
   $$64-16y+y^2-8y+y^2+y^2=19$$
   $$3y^2-24y+45=0$$
   $$y^2-8y+15=0$$
   $$(y-3)(y-5)=0.$$
   Значит, $$y=3$$ или $$y=5$$.

   Тогда $$x=5$$ или $$x=3$$ соответственно.

   Получаем решения: $$(3;5),\ (5;3).$$

3. Пусть в турнире участвовало $$x$$ шахматистов. Тогда число партий равно
   $$\frac{x(x-1)}{2}=231.$$
   Умножим на 2:
   $$x^2-x=462$$
   $$x^2-x-462=0.$$

   Найдём корни:
   $$D=1+4\cdot 462=1849=43^2,$$
   $$x=\frac{1\pm 43}{2}.$$
   Получаем
   $$x_1=-21,\quad x_2=22.$$
   Отрицательное значение не подходит, значит,
   $$x=22.$$

Ответ

1) $$(2;3),\ (3;2)$$
2) $$(3;5),\ (5;3)$$
3) $$22$$ шахматиста.