Упр.572 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число. На межшкольном шашечном турнире было сыграно 56 партий, причем каждый игрок играл с каждым две партии (белыми и черными). Сколько школьников участвовало в турнире?

Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

По условию при делении на сумму цифр получаем:

$$10a+b=6(a+b)+4.$$

При делении на произведение цифр получаем:

$$10a+b=2ab+16.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} 10a+b=6(a+b)+4,\\ 10a+b=2ab+16. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$$10a+b=6a+6b+4,$$

$$4a-5b=4.$$

Из этого выразим $$a$$:

$$a=\frac{4+5b}{4}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$10\cdot \frac{4+5b}{4}+b=2b\cdot \frac{4+5b}{4}+16.$$

Умножим на $$4$$:

$$10(4+5b)+4b=2b(4+5b)+64,$$

$$40+50b+4b=8b+10b^2+64,$$

$$10b^2-46b+24=0,$$

$$5b^2-23b+12=0.$$

Найдём корни:

$$D=23^2-4\cdot 5\cdot 12=529-240=289,$$

$$\sqrt{D}=17.$$

Тогда

$$b=\frac{23\pm 17}{10}.$$

Получаем:

$$b_1=4,\qquad b_2=0{,}6.$$

Так как $$b$$ — цифра, подходит только $$b=4$$. Тогда

$$a=\frac{4+5\cdot 4}{4}=6.$$

Искомое число:

$$64.$$

Во второй задаче пусть в турнире участвовало $$x$$ школьников. Тогда каждый сыграл с каждым по две партии, значит число партий равно

$$x(x-1)=56.$$

Решим уравнение:

$$x^2-x-56=0,$$

$$ (x-8)(x+7)=0.$$

Отсюда $$x=8$$ или $$x=-7$$. Отрицательное значение не подходит.

Ответ

$$64; \ 8$$ школьников.