Упр.571 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?
2. Решить уравнение:
   1) $$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}$$;
   2) $$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}$$.

Пусть длина и ширина участка равны $$x$$ м и $$y$$ м.

Площадь участка $$6$$ га $$= 60000$$ м$$^2$$, длина забора $$1$$ км $$= 1000$$ м. Тогда

$$\begin{cases} 2(x+y)=1000,\\ xy=60000. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x+y=500,\\ xy=60000. \end{cases}$$

Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-500t+60000=0.$$

$$D=500^2-4\cdot 60000=10000,$$

$$t=\frac{500\pm 100}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=300,\quad t_2=200.$$

Значит, длина и ширина участка равны $$300$$ м и $$200$$ м.

1) Решим уравнение

$$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}.$$

Так как $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$, то при $$x\ne -1$$ умножим обе части на $$(x+1)(x^2-x+1)$$:

$$2(x+1)=(x^2-x+1)+(2x-1).$$

$$2x+2=x^2+x.$$

$$x^2-x-2=0.$$

$$(x-2)(x+1)=0.$$

С учётом ОДЗ $$x\ne -1$$ получаем

$$x=2.$$

2) Решим уравнение

$$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}.$$

Так как $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$ и $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$, то при $$x\ne \pm 1$$ умножим обе части на $$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)$$:

$$30(x^2+x+1)-13(x^2-1)=(7+18x)(x+1).$$

$$30x^2+30x+30-13x^2+13=7x+7+18x^2+18x.$$

$$12x^2+5x+36=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 12\cdot 36<0.$$

Следовательно, действительных корней нет.

Ответ

Участок: $$200$$ м и $$300$$ м.

1) $$x=2$$.

2) Корней нет.