Упр.569 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x+xy+y=-1
x-xy+y=3)+
2) {(x-xy-y=-7
x+xy-y=1)+
3) {(x^2-y+2=0
x^2+y^2-4=0)+
4) {(x^2-3xy+y^2=11
xy=5)+
Корни квадратного уравнения x^2+px+q=0 — взаимно обратные положительные числа. Найти q.

Подробный ответ

1)
$$ \begin{cases} x+xy+y=-1,\\ x-xy+y=3. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 2x+2y=2 \Rightarrow x+y=1. $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ -2xy=4 \Rightarrow xy=-2. $$
Тогда числа $x$ и $y$ — корни уравнения
$$ t^2-t-2=0, $$
откуда
$$ t=2 \text{ или } t=-1. $$
Значит,
$$ (x,y)=(2,-1)\ \text{или}\ (-1,2). $$
2)
$$ \begin{cases} x-xy-y=-7,\\ x+xy-y=1. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 2x-2y=-6 \Rightarrow x-y=-3. $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 2xy=8 \Rightarrow xy=4. $$
Тогда
$$ x=y-3, $$
и
$$ (y-3)y=4 \Rightarrow y^2-3y-4=0. $$
Отсюда
$$ y=4 \text{ или } y=-1. $$
Тогда
$$ x=1 \text{ или } x=-4. $$
Следовательно,
$$ (x,y)=(1,4)\ \text{или}\ (-4,-1). $$
3)
$$ \begin{cases} x^2-y+2=0,\\ x^2+y^2-4=0. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y=x^2+2. $$
Подставим во второе:
$$ x^2+(x^2+2)^2-4=0. $$
Обозначим $t=x^2$. Тогда
$$ t+(t+2)^2-4=0, $$
$$ t+t^2+4t+4-4=0, $$
$$ t^2+5t=0, $$
$$ t(t+5)=0. $$
Так как $t=x^2\ge 0$, получаем $t=0$. Значит,
$$ x=0,\quad y=2. $$
4)
$$ \begin{cases} x^2-3xy+y^2=11,\\ xy=5. \end{cases} $$
Подставим $xy=5$ в первое уравнение:
$$ x^2-15+y^2=11, $$
$$ x^2+y^2=26. $$
Тогда
$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=26+10=36, $$
значит,
$$ x+y=6 \text{ или } x+y=-6. $$
Если $x+y=6$, то числа $x$ и $y$ — корни уравнения
$$ t^2-6t+5=0, $$
откуда
$$ t=1 \text{ или } t=5. $$
Если $x+y=-6$, то
$$ t^2+6t+5=0, $$
откуда
$$ t=-1 \text{ или } t=-5. $$
Следовательно,
$$ (x,y)=(1,5),\ (5,1),\ (-1,-5),\ (-5,-1). $$
5)
Корни уравнения
$$ x^2+px+q=0 $$
— взаимно обратные положительные числа. Пусть это $x_1$ и $x_2$. Тогда
$$ x_1x_2=q. $$
Так как числа взаимно обратные, то
$$ x_2=\frac{1}{x_1}, $$
значит,
$$ q=x_1\cdot \frac{1}{x_1}=1. $$