Упр.569 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases} x+xy+y=-1, \\ x-xy+y=3; \end{cases}$$
   2) $$\begin{cases} x-xy-y=-7, \\ x+xy-y=1; \end{cases}$$
   3) $$\begin{cases} x^2-y+2=0, \\ x^2+y^2-4=0; \end{cases}$$
   4) $$\begin{cases} x^2-3xy+y^2=11, \\ xy=5. \end{cases}$$
2. Корни квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ — взаимно обратные положительные числа. Найти $$q$$.

1. 1)
   $$\begin{cases} x+xy+y=-1,\\ x-xy+y=3. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$2x+2y=2 \Rightarrow x+y=1.$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$-2xy=4 \Rightarrow xy=-2.$$
   Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-t-2=0,$$
   откуда
   $$t=2 \text{ или } t=-1.$$
   Значит,
   $$(x,y)=(2,-1)\ \text{или}\ (-1,2).$$

2. 2)
   $$\begin{cases} x-xy-y=-7,\\ x+xy-y=1. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$2x-2y=-6 \Rightarrow x-y=-3.$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$2xy=8 \Rightarrow xy=4.$$
   Тогда
   $$x=y-3,$$
   и
   $$(y-3)y=4 \Rightarrow y^2-3y-4=0.$$
   Отсюда
   $$y=4 \text{ или } y=-1.$$
   Тогда
   $$x=1 \text{ или } x=-4.$$
   Следовательно,
   $$(x,y)=(1,4)\ \text{или}\ (-4,-1).$$

3. 3)
   $$\begin{cases} x^2-y+2=0,\\ x^2+y^2-4=0. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=x^2+2.$$
   Подставим во второе:
   $$x^2+(x^2+2)^2-4=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t+(t+2)^2-4=0,$$
   $$t+t^2+4t+4-4=0,$$
   $$t^2+5t=0,$$
   $$t(t+5)=0.$$
   Так как $$t=x^2\ge 0$$, получаем $$t=0$$. Значит,
   $$x=0,\quad y=2.$$

4. 4)
   $$\begin{cases} x^2-3xy+y^2=11,\\ xy=5. \end{cases}$$
   Подставим $$xy=5$$ в первое уравнение:
   $$x^2-15+y^2=11,$$
   $$x^2+y^2=26.$$
   Тогда
   $$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=26+10=36,$$
   значит,
   $$x+y=6 \text{ или } x+y=-6.$$
   Если $$x+y=6$$, то числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-6t+5=0,$$
   откуда
   $$t=1 \text{ или } t=5.$$
   Если $$x+y=-6$$, то
   $$t^2+6t+5=0,$$
   откуда
   $$t=-1 \text{ или } t=-5.$$
   Следовательно,
   $$(x,y)=(1,5),\ (5,1),\ (-1,-5),\ (-5,-1).$$

5. 5)
   Корни уравнения
   $$x^2+px+q=0$$
   — взаимно обратные положительные числа. Пусть это $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда
   $$x_1x_2=q.$$
   Так как числа взаимно обратные, то
   $$x_2=\frac{1}{x_1},$$
   значит,
   $$q=x_1\cdot \frac{1}{x_1}=1.$$

Ответ

1) $$(2,-1),\ (-1,2)$$

2) $$(1,4),\ (-4,-1)$$

3) $$(0,2)$$

4) $$(1,5),\ (5,1),\ (-1,-5),\ (-5,-1)$$

5) $$q=1$$