Упр.568 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x-y=2
xy=3)+
2) {(x-y=3
xy=4)+
3) {(2x^2-y^2=46
xy=10)+
4) {((x-y)^2=4
x+y=6)+
5) {(x^2-y^2=0
4+xy=0)+
6) {(x+y=4
1/x+1/y=1)+
В уравнении (a-7)x^2+13x-a=0 один из корней равен 2. Найти значение a и второй корень уравнения.

1. $$\begin{cases} x-y=2,\\ xy=3 \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$x=2+y$$. Подставим во второе:
   $$y(2+y)=3,$$
   $$y^2+2y-3=0.$$
   Тогда
   $$y_1=-3,\quad y_2=1.$$
   Найдём $$x$$:
   $$\begin{cases} y=-3,\\ x=2+(-3)=-1 \end{cases} \qquad \begin{cases} y=1,\\ x=2+1=3 \end{cases}$$
   Получаем решения: $$(-1;\,-3)$$ и $$ (3;\,1).$$

2. $$\begin{cases} x-y=3,\\ xy=4 \end{cases}$$
   Тогда $$x=3+y$$, и
   $$y(3+y)=4,$$
   $$y^2+3y-4=0.$$
   Отсюда
   $$y_1=-4,\quad y_2=1.$$
   Найдём $$x$$:
   $$\begin{cases} y=-4,\\ x=3-4=-1 \end{cases} \qquad \begin{cases} y=1,\\ x=3+1=4 \end{cases}$$
   Решения: $$(-1;\,-4)$$ и $$ (4;\,1).$$

3. $$\begin{cases} 2x^2-y^2=46,\\ xy=10 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$x=\dfrac{10}{y}$$, где $$y\neq 0$$. Подставим:
   $$2\left(\dfrac{10}{y}\right)^2-y^2=46.$$
   Умножим на $$y^2$$:
   $$200-y^4=46y^2,$$
   $$y^4+46y^2-200=0.$$
   Сделаем замену $$t=y^2$$:
   $$t^2+46t-200=0.$$
   Тогда
   $$D=46^2+4\cdot 200=2916,$$
   $$\sqrt{D}=54,$$
   $$t_1=\dfrac{-46-54}{2}=-50,\quad t_2=\dfrac{-46+54}{2}=4.$$
   Так как $$t=y^2\ge 0$$, подходит только $$t=4$$. Значит,
   $$y=\pm 2.$$
   Тогда
   $$x=\dfrac{10}{2}=5 \quad \text{или} \quad x=\dfrac{10}{-2}=-5.$$
   Получаем решения: $$(-5;\,-2)$$ и $$ (5;\,2).$$

4. $$\begin{cases} (x-y)^2=4,\\ x+y=6 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x-y=2 \quad \text{или} \quad x-y=-2.$$
   Рассмотрим оба случая.

   1) $$\begin{cases} x-y=2,\\ x+y=6 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x=8,\quad x=4,\quad y=2.$$

   2) $$\begin{cases} x-y=-2,\\ x+y=6 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x=4,\quad x=2,\quad y=4.$$

   Решения: $$ (4;\,2)$$ и $$ (2;\,4).$$

5. $$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ 4+xy=0 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0,$$
   значит, $$x=y$$ или $$x=-y.$$
   Из второго уравнения:
   $$xy=-4.$$
   Если $$x=y$$, то $$x^2=-4$$ — действительных решений нет.
   Значит, $$x=-y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x(-x)=-4,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x=2,\\ y=-2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x=-2,\\ y=2 \end{cases}$$
   Решения: $$ (2;\,-2)$$ и $$ (-2;\,2).$$

6. $$\begin{cases} x+y=4,\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1 \end{cases}$$
   Так как
   $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy},$$
   получаем
   $$\dfrac{4}{xy}=1,$$
   $$xy=4.$$
   Тогда система принимает вид
   $$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=4 \end{cases}$$
   По теореме, обратной теореме Виета, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-4t+4=0.$$
   Отсюда
   $$t=2,$$
   значит,
   $$x=2,\quad y=2.$$

7. $$\left(a-7\right)x^2+13x-a=0,$$
   один из корней равен $$2$$. Подставим $$x=2$$:
   $$4(a-7)+26-a=0,$$
   $$4a-28+26-a=0,$$
   $$3a-2=0,$$
   $$a=\dfrac{2}{3}.$$
   Тогда уравнение имеет вид
   $$\left(\dfrac{2}{3}-7\right)x^2+13x-\dfrac{2}{3}=0,$$
   или после умножения на $$3$$:
   $$-19x^2+39x-2=0.$$
   Так как один корень $$x_1=2$$, то по теореме Виета
   $$x_1x_2=\dfrac{-2}{-19}=\dfrac{2}{19}.$$
   Следовательно,
   $$x_2=\dfrac{2}{19}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{19}.$$

Ответ

1) $$(-1;\,-3),\ (3;\,1)$$;
2) $$(-1;\,-4),\ (4;\,1)$$;
3) $$(-5;\,-2),\ (5;\,2)$$;
4) $$ (4;\,2),\ (2;\,4)$$;
5) $$ (2;\,-2),\ (-2;\,2)$$;
6) $$ (2;\,2)$$;
$$a=\dfrac{2}{3},\quad x_2=\dfrac{1}{19}.$$