Упр.567 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x=2y-3
y^2-2x=3)+
2) {(x+y=6
xy=-7)+
3) {(x^2-y^2=21
x+y=7)+
Не вычисляя корней x_1 и x_2 уравнения x^2-7x-21=0, найти:
1) 1/x_1 +1/x_2 ;
2) x_1^2+x_2^2;
3) x_1/x_2 +x_2/x_1 ;
4) x_1^4+x_2^4.

Подробный ответ

Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y-3$$
Подставим во второе уравнение:
$$y^2-2(2y-3)=3$$
$$y^2-4y+6-3=0$$
$$y^2-4y+3=0$$
$$D=16-12=4$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$
$$y_1=1,\quad y_2=3$$
Тогда:
при $$y=1$$: $$x=2\cdot 1-3=-1$$;
при $$y=3$$: $$x=2\cdot 3-3=3$$.
Получаем решения: $$(-1;1)$$ и $$ (3;3)$$.
По теореме, обратной теореме Виета, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-6t-7=0$$
Значит,
$$x+y=6,\quad xy=-7$$
Тогда:
$$x=7,\ y=-1$$ или $$x=-1,\ y=7$$.
Получаем решения: $$(7;-1)$$ и $$(-1;7)$$.
Используем формулу разности квадратов:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=21$$
Так как $$x+y=7$$, то
$$7(x-y)=21$$
$$x-y=3$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x+y=7 \\ x-y=3 \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$2x=10,\quad x=5$$
$$y=7-5=2$$
Получаем решение: $$(5;2)$$.
Для уравнения $$x^2-7x-21=0$$ по теореме Виета:
$$x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=-21$$
1)
$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{7}{-21}=-\frac13$$
2)
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7^2-2\cdot(-21)=49+42=91$$
3)
$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{91}{-21}=-\frac{13}{3}$$
4)
$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2$$
$$x_1^4+x_2^4=91^2-2\cdot(-21)^2=8281-882=7399$$