Упр.564 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x^2+y^2=17
xy=4)+
2) {(xy=10
x^2+y^2=29)+
3) {(xy=3
x^2+y^2=10)+
4) {(xy=5
x^2+y^2=26)+
Из пункта A в пункт B отправился автомобиль, а одновременно навстречу ему из пункта B отправился автобус. Автомобиль прибыл в B через 40 мин после встречи с автобусом, а автобус прибыл в A через 1,5 ч после их встречи. Найти скорости автомобиля и автобуса, если расстояние между пунктами A и B равно 100 км (скорости автомобиля и автобуса постоянны).

1. 1)

   $$\begin{cases} x^2+y^2=17,\\ xy=4 \end{cases}$$
   Сложим уравнения после умножения второго на $$2$$:
   $$x^2+2xy+y^2=17+8=25.$$
   Тогда
   $$\left(x+y\right)^2=25,$$
   откуда
   $$x+y=5 \text{ или } x+y=-5.$$
   При $$x+y=5,\ xy=4$$ получаем числа $$1$$ и $$4$$.
   При $$x+y=-5,\ xy=4$$ получаем числа $$-1$$ и $$-4$$.

   Ответ: $$\left(1;4\right),\ \left(4;1\right),\ \left(-1;-4\right),\ \left(-4;-1\right).$$

2. 2)

   $$\begin{cases} xy=10,\\ x^2+y^2=29 \end{cases}$$
   Тогда
   $$x^2+2xy+y^2=29+20=49,$$
   значит,
   $$\left(x+y\right)^2=49,$$
   откуда
   $$x+y=7 \text{ или } x+y=-7.$$
   При $$x+y=7,\ xy=10$$ получаем числа $$2$$ и $$5$$.
   При $$x+y=-7,\ xy=10$$ получаем числа $$-2$$ и $$-5$$.

   Ответ: $$\left(2;5\right),\ \left(5;2\right),\ \left(-2;-5\right),\ \left(-5;-2\right).$$

3. 3)

   $$\begin{cases} xy=3,\\ x^2+y^2=10 \end{cases}$$
   Тогда
   $$x^2+2xy+y^2=10+6=16,$$
   значит,
   $$\left(x+y\right)^2=16,$$
   откуда
   $$x+y=4 \text{ или } x+y=-4.$$
   При $$x+y=4,\ xy=3$$ получаем числа $$1$$ и $$3$$.
   При $$x+y=-4,\ xy=3$$ получаем числа $$-1$$ и $$-3$$.

   Ответ: $$\left(3;1\right),\ \left(1;3\right),\ \left(-3;-1\right),\ \left(-1;-3\right).$$

4. 4)

   $$\begin{cases} xy=5,\\ x^2+y^2=26 \end{cases}$$
   Тогда
   $$x^2+2xy+y^2=26+10=36,$$
   значит,
   $$\left(x+y\right)^2=36,$$
   откуда
   $$x+y=6 \text{ или } x+y=-6.$$
   При $$x+y=6,\ xy=5$$ получаем числа $$1$$ и $$5$$.
   При $$x+y=-6,\ xy=5$$ получаем числа $$-1$$ и $$-5$$.

   Ответ: $$\left(5;1\right),\ \left(1;5\right),\ \left(-5;-1\right),\ \left(-1;-5\right).$$

5. Автомобиль и автобус

   Пусть скорость автомобиля равна $$x$$ км/ч, а скорость автобуса — $$y$$ км/ч.
   Автомобиль был в пути после встречи $$40$$ мин $$=\frac{2}{3}$$ ч, автобус — $$1{,}5$$ ч.
   Значит, до встречи автомобиль ехал $$\frac{100}{x}-\frac{2}{3}$$ ч, а автобус — $$\frac{100}{y}-1{,}5$$ ч.
   Так как они встретились одновременно, эти времена равны:
   $$\frac{100}{x}-\frac{2}{3}=\frac{100}{y}-\frac{3}{2}.$$
   Отсюда
   $$\frac{100}{y}-\frac{100}{x}=\frac{5}{6}.$$
   Кроме того, после встречи автомобиль и автобус вместе прошли весь путь:
   $$\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}y=100.$$
   Решая систему, получаем:
   $$y=40,\quad x=60.$$

   Ответ: $$60$$ км/ч — скорость автомобиля, $$40$$ км/ч — скорость автобуса.