Упр.563 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x-y=7
x^2-y^2=14)+
2) {(x+y=3
x^2-y^2=15)+
3) {(x^2-y^2=24
x+y=4)+
4) {(x^2-y^2=8
x-y=2)+
На изготовление одной детали первый рабочий затрачивал на 2,5 мин больше, чем второй. После того как первый рабочий начал изготавливать за каждый час на 3 детали больше, а второй — на одну деталь больше, чем раньше, их производительность труда стала одинаковой. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за 1 ч первоначально?

1. $$\begin{cases} x-y=7,\\ x^2-y^2=14 \end{cases}$$
   Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ то
   $$7(x+y)=14,$$
   откуда
   $$x+y=2.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} x-y=7,\\ x+y=2 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x=9,\quad x=4{,}5.$$
   Тогда
   $$y=2-4{,}5=-2{,}5.$$
2. $$\begin{cases} x+y=3,\\ x^2-y^2=15 \end{cases}$$
   Получаем
   $$ (x-y)(x+y)=15,$$
   значит
   $$3(x-y)=15,$$
   откуда
   $$x-y=5.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=5 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$2x=8,\quad x=4.$$
   Тогда
   $$y=3-4=-1.$$
3. $$\begin{cases} x^2-y^2=24,\\ x+y=4 \end{cases}$$
   Так как
   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$
   то
   $$4(x-y)=24,$$
   откуда
   $$x-y=6.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} x+y=4,\\ x-y=6 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$2x=10,\quad x=5.$$
   Тогда
   $$y=4-5=-1.$$
4. $$\begin{cases} x^2-y^2=8,\\ x-y=2 \end{cases}$$
   Имеем
   $$ (x-y)(x+y)=8,$$
   значит
   $$2(x+y)=8,$$
   откуда
   $$x+y=4.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} x+y=4,\\ x-y=2 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$2x=6,\quad x=3.$$
   Тогда
   $$y=4-3=1.$$
5. Пусть первый рабочий изготавливал $$x$$ деталей в час, а второй — $$y$$ деталей в час. Тогда время на изготовление одной детали было равно соответственно $$\frac{1}{x}$$ ч и $$\frac{1}{y}$$ ч. После изменения производительности получаем систему:
   $$\begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{24},\\ x+3=y+1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x+2.$$
   Подставим в первое:
   $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{1}{24}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{2}{x(x+2)}=\frac{1}{24}.$$
   Тогда
   $$x(x+2)=48,$$
   $$x^2+2x-48=0.$$
   Разложим на множители:
   $$ (x-6)(x+8)=0.$$
   Отсюда
   $$x=6 \quad \text{или} \quad x=-8.$$
   Отрицательное значение не подходит, значит
   $$x=6,$$
   $$y=8.$$

Ответ

1) $$\left(4{,}5;\,-2{,}5\right)$$; 2) $$\left(4;\,-1\right)$$; 3) $$\left(5;\,-1\right)$$; 4) $$\left(3;\,1\right)$$; 5) первый рабочий — $$6$$ деталей в час, второй — $$8$$ деталей в час.