Упр.562 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x+y=5
xy=6)+
2) {(xy=7
x+y=8)+
3) {(x+y=12
xy=11)+
4) {(x+y=-7
xy=10)+
Решить систему уравнений:
1) {(y^2-3xy+x^2-x+y+9=0
y-x=2)+
2) {(x^2+2xy+y^2-x-y=6
x-2y=3)+
3) {(xy=2
xz=3
x^2+y^2=5)+
4) {(x^2+y^2+z^2=30
y-x=3
y-z=4)+

1. $$\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}$$
   По теореме, обратной теореме Виета, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-5t+6=0.$$
   Тогда
   $$t_1=2,\quad t_2=3.$$
   Значит,
   $$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$$

   Ответ: $$ (2;3),\ (3;2). $$

2. $$\begin{cases} xy=7 \\ x+y=8 \end{cases}$$
   Тогда
   $$t^2-8t+7=0.$$
   Отсюда
   $$t_1=7,\quad t_2=1.$$
   Следовательно,
   $$\begin{cases} x=7 \\ y=1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=1 \\ y=7 \end{cases}$$

   Ответ: $$ (7;1),\ (1;7). $$

3. $$\begin{cases} x+y=12 \\ xy=11 \end{cases}$$
   Тогда
   $$t^2-12t+11=0.$$
   Получаем
   $$t_1=11,\quad t_2=1.$$
   Значит,
   $$\begin{cases} x=11 \\ y=1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=1 \\ y=11 \end{cases}$$

   Ответ: $$ (11;1),\ (1;11). $$

4. $$\begin{cases} x+y=-7 \\ xy=10 \end{cases}$$
   Тогда
   $$t^2+7t+10=0.$$
   Отсюда
   $$t_1=-5,\quad t_2=-2.$$
   Следовательно,
   $$\begin{cases} x=-5 \\ y=-2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=-2 \\ y=-5 \end{cases}$$

   Ответ: $$ (-5;-2),\ (-2;-5). $$

5. $$\begin{cases} y^2-3xy+x^2-x+y+9=0 \\ y-x=2 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x+2.$$
   Подставим в первое:
   $$ (x+2)^2-3x(x+2)+x^2-x+(x+2)+9=0. $$
   Упростим:
   $$ x^2+4x+4-3x^2-6x+x^2-x+x+2+9=0, $$
   $$ -x^2-2x+15=0, $$
   $$ x^2+2x-15=0. $$
   Тогда
   $$ (x+5)(x-3)=0, $$
   откуда
   $$x=-5 \quad \text{или} \quad x=3.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=x+2.$$
   Получаем
   $$(-5;-3),\ (3;5).$$

   Ответ: $$ (-5;-3),\ (3;5). $$

6. $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2-x-y=6 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=3+2y.$$
   Подставим в первое:
   $$ (3+2y)^2+2(3+2y)y+y^2-(3+2y)-y=6. $$
   Получаем:
   $$ 9+12y+4y^2+6y+4y^2+y^2-3-2y-y=6, $$
   $$ 9y^2+15y=0, $$
   $$ 3y(3y+5)=0. $$
   Значит,
   $$y=0 \quad \text{или} \quad y=-\frac{5}{3}.$$
   Тогда
   $$x=3+2y.$$
   Если $$y=0$$, то $$x=3$$.
   Если $$y=-\frac{5}{3}$$, то $$x=-\frac{1}{3}.$$

   Ответ: $$ \left(-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right),\ (3;0). $$

7. $$\begin{cases} xy=2 \\ xz=3 \\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$
   Из первых двух уравнений:
   $$y=\frac{2}{x},\quad z=\frac{3}{x}.$$
   Подставим в третье:
   $$ x^2+\left(\frac{2}{x}\right)^2=5. $$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$ x^4-5x^2+4=0. $$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$ t^2-5t+4=0, $$
   $$ t_1=4,\quad t_2=1. $$
   Значит,
   $$x^2=4 \quad \text{или} \quad x^2=1,$$
   откуда
   $$x=\pm 2 \quad \text{или} \quad x=\pm 1.$$
   Находим соответствующие $$y$$ и $$z$$:
   $$ x=2 \Rightarrow y=1,\ z=\frac{3}{2}; \quad x=1 \Rightarrow y=2,\ z=3; $$
   $$ x=-2 \Rightarrow y=-1,\ z=-\frac{3}{2}; \quad x=-1 \Rightarrow y=-2,\ z=-3. $$

   Ответ: $$ (-1;-2;-3),\ (1;2;3),\ (-2;-1;-\frac{3}{2}),\ (2;1;\frac{3}{2}). $$

8. $$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=30 \\ y-x=3 \\ y-z=4 \end{cases}$$
   Из второго и третьего уравнений:
   $$x=y-3,\quad z=y-4.$$
   Подставим в первое:
   $$ (y-3)^2+y^2+(y-4)^2=30. $$
   Раскроем скобки:
   $$ y^2-6y+9+y^2+y^2-8y+16=30, $$
   $$ 3y^2-14y-5=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=196+60=256,\quad \sqrt{D}=16. $$
   Тогда
   $$ y=\frac{14\pm16}{6}. $$
   Получаем:
   $$y=5 \quad \text{или} \quad y=-\frac{1}{3}.$$
   Найдём $$x$$ и $$z$$:
   $$ y=5 \Rightarrow x=2,\ z=1; $$
   $$ y=-\frac{1}{3} \Rightarrow x=-\frac{10}{3},\ z=-\frac{13}{3}. $$

   Ответ: $$ \left(-\frac{10}{3};-\frac{1}{3};-\frac{13}{3}\right),\ (2;5;1). $$