Упр.562 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

$$\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}$$
По теореме, обратной теореме Виета, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0.$$
Тогда
$$t_1=2,\quad t_2=3.$$
Значит,
$$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$$

Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$

$$\begin{cases} xy=7 \\ x+y=8 \end{cases}$$
Тогда
$$t^2-8t+7=0.$$
Отсюда
$$t_1=7,\quad t_2=1.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} x=7 \\ y=1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=1 \\ y=7 \end{cases}$$

Ответ: $$(7;1),\ (1;7).$$

$$\begin{cases} x+y=12 \\ xy=11 \end{cases}$$
Тогда
$$t^2-12t+11=0.$$
Получаем
$$t_1=11,\quad t_2=1.$$
Значит,
$$\begin{cases} x=11 \\ y=1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=1 \\ y=11 \end{cases}$$

Ответ: $$(11;1),\ (1;11).$$

$$\begin{cases} x+y=-7 \\ xy=10 \end{cases}$$
Тогда
$$t^2+7t+10=0.$$
Отсюда
$$t_1=-5,\quad t_2=-2.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} x=-5 \\ y=-2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x=-2 \\ y=-5 \end{cases}$$

Ответ: $$(-5;-2),\ (-2;-5).$$

$$\begin{cases} y^2-3xy+x^2-x+y+9=0 \\ y-x=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x+2.$$
Подставим в первое:
$$(x+2)^2-3x(x+2)+x^2-x+(x+2)+9=0.$$
Упростим:
$$x^2+4x+4-3x^2-6x+x^2-x+x+2+9=0,$$
$$-x^2-2x+15=0,$$
$$x^2+2x-15=0.$$
Тогда
$$(x+5)(x-3)=0,$$
откуда
$$x=-5 \quad \text{или} \quad x=3.$$
Найдём $$y$$:
$$y=x+2.$$
Получаем
$$(-5;-3),\ (3;5).$$

Ответ: $$(-5;-3),\ (3;5).$$

$$\begin{cases} x^2+2xy+y^2-x-y=6 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=3+2y.$$
Подставим в первое:
$$(3+2y)^2+2(3+2y)y+y^2-(3+2y)-y=6.$$
Получаем:
$$9+12y+4y^2+6y+4y^2+y^2-3-2y-y=6,$$
$$9y^2+15y=0,$$
$$3y(3y+5)=0.$$
Значит,
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=-\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$x=3+2y.$$
Если $$y=0$$, то $$x=3$$.
Если $$y=-\frac{5}{3}$$, то $$x=-\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$\left(-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right),\ (3;0).$$

$$\begin{cases} xy=2 \\ xz=3 \\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$
Из первых двух уравнений:
$$y=\frac{2}{x},\quad z=\frac{3}{x}.$$
Подставим в третье:
$$x^2+\left(\frac{2}{x}\right)^2=5.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-5x^2+4=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-5t+4=0,$$
$$t_1=4,\quad t_2=1.$$
Значит,
$$x^2=4 \quad \text{или} \quad x^2=1,$$
откуда
$$x=\pm 2 \quad \text{или} \quad x=\pm 1.$$
Находим соответствующие $$y$$ и $$z$$:
$$x=2 \Rightarrow y=1,\ z=\frac{3}{2}; \quad x=1 \Rightarrow y=2,\ z=3;$$
$$x=-2 \Rightarrow y=-1,\ z=-\frac{3}{2}; \quad x=-1 \Rightarrow y=-2,\ z=-3.$$

Ответ: $$(-1;-2;-3),\ (1;2;3),\ (-2;-1;-\frac{3}{2}),\ (2;1;\frac{3}{2}).$$

$$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=30 \\ y-x=3 \\ y-z=4 \end{cases}$$
Из второго и третьего уравнений:
$$x=y-3,\quad z=y-4.$$
Подставим в первое:
$$(y-3)^2+y^2+(y-4)^2=30.$$
Раскроем скобки:
$$y^2-6y+9+y^2+y^2-8y+16=30,$$
$$3y^2-14y-5=0.$$
Дискриминант:
$$D=196+60=256,\quad \sqrt{D}=16.$$
Тогда
$$y=\frac{14\pm16}{6}.$$
Получаем:
$$y=5 \quad \text{или} \quad y=-\frac{1}{3}.$$
Найдём $$x$$ и $$z$$:
$$y=5 \Rightarrow x=2,\ z=1;$$
$$y=-\frac{1}{3} \Rightarrow x=-\frac{10}{3},\ z=-\frac{13}{3}.$$

Ответ: $$\left(-\frac{10}{3};-\frac{1}{3};-\frac{13}{3}\right),\ (2;5;1).$$