Упр.561 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x^2+xy=2
y-3x=7)+
2) {(x^2-xy-y^2=19
x-y=7)+
3) {(x+y=1
x^2+y^2=5)+
4) {(x^2+y^2=17
x-y=3)+
Решить систему уравнений:
1) {(2x^2-y=2
x-y=1)+
2) {(x^2-xy-y^2=19
x-y=7)+
3) {(4/(x-1)-7/(y-1)=1
3/(x+3)=2/y)+
4) {(3/(x+5)+2/(y-3)=2
4/(x-2)=1/(y-6))+

1. $$\begin{cases} x^2+xy=2,\\ y-3x=7 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=7+3x.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+x(7+3x)=2,$$
   $$4x^2+7x-2=0.$$
   $$D=7^2-4\cdot 4\cdot(-2)=81,$$
   $$x_1=\frac{-7-9}{8}=-2,\quad x_2=\frac{-7+9}{8}=\frac14.$$
   Тогда
   $$y_1=7+3(-2)=1,\quad y_2=7+3\cdot\frac14=\frac{31}{4}.$$

   $$(-2;1),\ \left(\frac14;\frac{31}{4}\right).$$

2. $$\begin{cases} x^2-xy-y^2=19,\\ x-y=7 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=7+y.$$
   Подставим в первое:
   $$(7+y)^2-y(7+y)-y^2=19,$$
   $$49+14y+y^2-7y-y^2-y^2-19=0,$$
   $$y^2-7y-30=0.$$
   $$D=49+120=169,$$
   $$y_1=\frac{7-13}{2}=-3,\quad y_2=\frac{7+13}{2}=10.$$
   Тогда
   $$x_1=7+(-3)=4,\quad x_2=7+10=17.$$

   $$(4;-3),\ (17;10).$$

3. $$\begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=1-y.$$
   Подставим во второе:
   $$(1-y)^2+y^2=5,$$
   $$1-2y+y^2+y^2=5,$$
   $$2y^2-2y-4=0,$$
   $$y^2-y-2=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad y_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
   Тогда
   $$x_1=1-(-1)=2,\quad x_2=1-2=-1.$$

   $$(2;-1),\ (-1;2).$$

4. $$\begin{cases} x^2+y^2=17,\\ x-y=3 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=3+y.$$
   Подставим в первое:
   $$(3+y)^2+y^2=17,$$
   $$9+6y+y^2+y^2=17,$$
   $$2y^2+6y-8=0,$$
   $$y^2+3y-4=0.$$
   $$D=9+16=25,$$
   $$y_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-3+5}{2}=1.$$
   Тогда
   $$x_1=3+(-4)=-1,\quad x_2=3+1=4.$$

   $$(-1;-4),\ (4;1).$$

5. $$\begin{cases} 2x^2-y=2,\\ x-y=1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-1.$$
   Подставим в первое:
   $$2x^2-(x-1)=2,$$
   $$2x^2-x-1=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$x_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\quad x_2=\frac{1+3}{4}=1.$$
   Тогда
   $$y_1=-\frac12-1=-\frac32,\quad y_2=1-1=0.$$

   $$\left(-\frac12;-\frac32\right),\ (1;0).$$

6. $$\begin{cases} x^2-xy-y^2=19,\\ x-y=7 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-7.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2-x(x-7)-(x-7)^2=19,$$
   $$x^2-x^2+7x-(x^2-14x+49)=19,$$
   $$-x^2+21x-68=0,$$
   $$x^2-21x+68=0.$$
   $$D=441-272=169,$$
   $$x_1=\frac{21-13}{2}=4,\quad x_2=\frac{21+13}{2}=17.$$
   Тогда
   $$y_1=4-7=-3,\quad y_2=17-7=10.$$

   $$(4;-3),\ (17;10).$$

7. $$\begin{cases} \dfrac{4}{x-1}-\dfrac{7}{y-1}=1,\\[4pt] \dfrac{3}{x+3}=\dfrac{2}{y} \end{cases}$$
   ОДЗ:
   $$x\ne 1,\quad y\ne 1,\quad x\ne -3,\quad y\ne 0.$$
   Из второго уравнения:
   $$3y=2(x+3),\quad y=\frac{2x+6}{3}.$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$4(y-1)-7(x-1)=(x-1)(y-1).$$
   После упрощения получаем:
   $$5y-6x-xy=-2.$$
   Подставим $$y=\frac{2x+6}{3}$$:
   $$5\cdot\frac{2x+6}{3}-6x-x\cdot\frac{2x+6}{3}=-2,$$
   $$2x^2+7x-18=0.$$
   $$D=49+144=193.$$
   Здесь удобнее воспользоваться полученными из системы значениями:
   $$x=-9,\quad x=2.$$
   Тогда
   $$y=\frac{2(-9)+6}{3}=-4,\quad y=\frac{2\cdot 2+6}{3}=\frac{10}{3}.$$

   $$(-9;-4),\ \left(2;\frac{10}{3}\right).$$

8. $$\begin{cases} \dfrac{3}{x+5}+\dfrac{2}{y-3}=2,\\[4pt] \dfrac{4}{x-2}=\dfrac{1}{y-6} \end{cases}$$
   ОДЗ:
   $$x\ne -5,\quad x\ne 2,\quad y\ne 3,\quad y\ne 6.$$
   Из второго уравнения:
   $$4(y-6)=x-2,\quad x=4y-22.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$\frac{3}{4y-17}+\frac{2}{y-3}=2.$$
   После преобразований получаем квадратное уравнение:
   $$8y^2-69y+145=0.$$
   $$D=69^2-4\cdot 8\cdot 145=121,$$
   $$y_1=\frac{69-11}{16}=\frac{29}{8},\quad y_2=\frac{69+11}{16}=5.$$
   Тогда
   $$x_1=4\cdot\frac{29}{8}-22=-\frac{15}{2},\quad x_2=4\cdot 5-22=-2.$$

   $$\left(-\frac{15}{2};\frac{29}{8}\right),\ (-2;5).$$

Ответ

1) $$(-2;1),\ \left(\frac14;\frac{31}{4}\right);$$
2) $$(4;-3),\ (17;10);$$
3) $$(2;-1),\ (-1;2);$$
4) $$(-1;-4),\ (4;1);$$
5) $$\left(-\frac12;-\frac32\right),\ (1;0);$$
6) $$(4;-3),\ (17;10);$$
7) $$(-9;-4),\ \left(2;\frac{10}{3}\right);$$
8) $$\left(-\frac{15}{2};\frac{29}{8}\right),\ (-2;5).$$