Упр.560 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {(y=x+6
x^2-4y=-3)+
2) {(x=2-y
y^2+x=32)+
3) {(x+2y=1
x+y^2=4)+
4) {(y-3x=2
x^2-2y=3)+
На эстрадный концерт в клубе было продано на 20 000 р. билетов по одной стоимости и на 12 000 р. билетов стоимостью на 50 р. больше. Каковы цены билетов, если на концерте было 280 человек?

Подробный ответ

$$ \begin{cases} y=x+6 \\ x^2-4y=-3 \end{cases} $$
Подставим $$y=x+6$$ во второе уравнение:
$$ x^2-4(x+6)=-3 $$
$$ x^2-4x-24=-3 $$
$$ x^2-4x-21=0 $$
$$ D=16+84=100,\quad \sqrt{D}=10 $$
$$ x_1=\frac{4-10}{2}=-3,\quad x_2=\frac{4+10}{2}=7 $$
Тогда:
$$ x=-3,\ y=3 $$
или
$$ x=7,\ y=13 $$
$$ \begin{cases} x=2-y \\ y^2+x=32 \end{cases} $$
Подставим $$x=2-y$$ во второе уравнение:
$$ y^2+2-y=32 $$
$$ y^2-y-30=0 $$
$$ D=1+120=121,\quad \sqrt{D}=11 $$
$$ y_1=\frac{1-11}{2}=-5,\quad y_2=\frac{1+11}{2}=6 $$
Тогда:
$$ y=-5,\ x=7 $$
или
$$ y=6,\ x=-4 $$
$$ \begin{cases} x+2y=1 \\ x+y^2=4 \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x=1-2y $$
Подставим во второе:
$$ 1-2y+y^2=4 $$
$$ y^2-2y-3=0 $$
$$ D=4+12=16,\quad \sqrt{D}=4 $$
$$ y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad y_2=\frac{2+4}{2}=3 $$
Тогда:
$$ y=-1,\ x=3 $$
или
$$ y=3,\ x=-5 $$
$$ \begin{cases} y-3x=2 \\ x^2-2y=3 \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y=2+3x $$
Подставим во второе:
$$ x^2-2(2+3x)=3 $$
$$ x^2-4-6x=3 $$
$$ x^2-6x-7=0 $$
$$ D=36+28=64,\quad \sqrt{D}=8 $$
$$ x_1=\frac{6-8}{2}=-1,\quad x_2=\frac{6+8}{2}=7 $$
Тогда:
$$ x=-1,\ y=-1 $$
или
$$ x=7,\ y=23 $$
Пусть одна цена билета равна $$x$$ руб., тогда другая — $$x+50$$ руб.
По условию:
$$ \frac{20000}{x}+\frac{12000}{x+50}=280 $$
Умножим на $$x(x+50)$$:
$$ 20000(x+50)+12000x=280x(x+50) $$
$$ 20000x+1000000+12000x=280x^2+14000x $$
$$ 280x^2-18000x-1000000=0 $$
Разделим на $$20$$:
$$ 14x^2-900x-50000=0 $$
$$ D=900^2+4\cdot 14\cdot 50000=2500000,\quad \sqrt{D}=1581{,}138\ldots $$
Удобнее заметить, что уравнение имеет корни $$x=100$$ и $$x=-\frac{250}{7}$$, отрицательный корень не подходит.
Значит, первая цена билета:
$$ x=100 $$
Вторая цена:
$$ x+50=150 $$