Упр.560 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Решить систему уравнений:

1) $$\begin{cases} y=x+6 \\ x^2-4y=-3 \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} x=2-y \\ y^2+x=32 \end{cases}$$
3) $$\begin{cases} x+2y=1 \\ x+y^2=4 \end{cases}$$
4) $$\begin{cases} y-3x=2 \\ x^2-2y=3 \end{cases}$$
На эстрадный концерт в клубе было продано на 20 000 р. билетов по одной стоимости и на 12 000 р. билетов стоимостью на 50 р. больше. Каковы цены билетов, если на концерте было 280 человек?

Подробный ответ

$$\begin{cases} y=x+6 \\ x^2-4y=-3 \end{cases}$$
Подставим $$y=x+6$$ во второе уравнение:
$$x^2-4(x+6)=-3$$
$$x^2-4x-24=-3$$
$$x^2-4x-21=0$$
$$D=16+84=100,\quad \sqrt{D}=10$$
$$x_1=\frac{4-10}{2}=-3,\quad x_2=\frac{4+10}{2}=7$$
Тогда:
$$x=-3,\ y=3$$
или
$$x=7,\ y=13$$
$$\begin{cases} x=2-y \\ y^2+x=32 \end{cases}$$
Подставим $$x=2-y$$ во второе уравнение:
$$y^2+2-y=32$$
$$y^2-y-30=0$$
$$D=1+120=121,\quad \sqrt{D}=11$$
$$y_1=\frac{1-11}{2}=-5,\quad y_2=\frac{1+11}{2}=6$$
Тогда:
$$y=-5,\ x=7$$
или
$$y=6,\ x=-4$$
$$\begin{cases} x+2y=1 \\ x+y^2=4 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=1-2y$$
Подставим во второе:
$$1-2y+y^2=4$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16,\quad \sqrt{D}=4$$
$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad y_2=\frac{2+4}{2}=3$$
Тогда:
$$y=-1,\ x=3$$
или
$$y=3,\ x=-5$$
$$\begin{cases} y-3x=2 \\ x^2-2y=3 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=2+3x$$
Подставим во второе:
$$x^2-2(2+3x)=3$$
$$x^2-4-6x=3$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=36+28=64,\quad \sqrt{D}=8$$
$$x_1=\frac{6-8}{2}=-1,\quad x_2=\frac{6+8}{2}=7$$
Тогда:
$$x=-1,\ y=-1$$
или
$$x=7,\ y=23$$
Пусть одна цена билета равна $$x$$ руб., тогда другая — $$x+50$$ руб.
По условию:
$$\frac{20000}{x}+\frac{12000}{x+50}=280$$
Умножим на $$x(x+50)$$:
$$20000(x+50)+12000x=280x(x+50)$$
$$20000x+1000000+12000x=280x^2+14000x$$
$$280x^2-18000x-1000000=0$$
Разделим на $$20$$:
$$14x^2-900x-50000=0$$
$$D=900^2+4\cdot 14\cdot 50000=2500000,\quad \sqrt{D}=1581{,}138\ldots$$
Удобнее заметить, что уравнение имеет корни $$x=100$$ и $$x=-\frac{250}{7}$$, отрицательный корень не подходит.
Значит, первая цена билета:
$$x=100$$
Вторая цена:
$$x+50=150$$