Упр.56 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Выполнить деление дробей: 1) $$\frac{a}{b}:\frac{a}{b}$$; 2) $$\frac{3a}{7b}:\frac{m}{n}$$; 3) $$\frac{c}{2d}:\frac{3a}{5b}$$; 4) $$\frac{2a}{3b}:\frac{a^2}{bc}$$; 5) $$\frac{5m}{n^2}:\frac{10m^3}{n}$$.
2. Доказать, что: 1) $$a+\frac{1}{a}<-2$$, если $$a<0$$ и $$a\ne-1$$; 2) $$a+b+\frac{b}{a}>2$$, если $$ab>0$$ и $$a\ne b$$; 3) $$4y+\frac{1}{y}>4$$, если $$y>0$$ и $$y\ne\frac{1}{2}$$; 4) $$9x+\frac{1}{x}<-6$$, если $$x<0$$ и $$x\ne-\frac{1}{3}$$.

1. $$\frac{a}{b}:\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1.$$
2. $$\frac{3a}{7b}:\frac{m}{n}=\frac{3a}{7b}\cdot\frac{n}{m}=\frac{3an}{7bm}.$$
3. $$\frac{c}{2d}:\frac{3a}{5b}=\frac{c}{2d}\cdot\frac{5b}{3a}=\frac{5bc}{6ad}.$$
4. $$\frac{2a}{3b}:\frac{a^2}{bc}=\frac{2a}{3b}\cdot\frac{bc}{a^2}=\frac{2c}{3a}.$$
5. $$\frac{5m}{n^2}:\frac{10m^3}{n}=\frac{5m}{n^2}\cdot\frac{n}{10m^3}=\frac{1}{2m^2n}.$$

Докажем неравенства.

1. Если $$a<0$$ и $$a\neq -1$$, то
   $$a+\frac{1}{a}<-2.$$
   Преобразуем:
   $$a+\frac{1}{a}+2<0$$
   $$\frac{a^2+2a+1}{a}<0$$
   $$\frac{(a+1)^2}{a}<0.$$
   Так как $$\left(a+1\right)^2>0$$, а $$a<0$$, то дробь отрицательна. Следовательно,
   $$a+\frac{1}{a}<-2.$$
2. Если $$ab>0$$ и $$a\neq b$$, то
   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2.$$
   Действительно,
   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2>0$$
   $$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}>0$$
   $$\frac{(a-b)^2}{ab}>0.$$
   Так как $$\left(a-b\right)^2>0$$ и $$ab>0$$, то дробь положительна. Следовательно,
   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2.$$
3. Если $$y>0$$ и $$y\neq \frac12$$, то
   $$4y+\frac{1}{y}>4.$$
   Преобразуем:
   $$4y+\frac{1}{y}-4>0$$
   $$\frac{4y^2-4y+1}{y}>0$$
   $$\frac{(2y-1)^2}{y}>0.$$
   Так как $$\left(2y-1\right)^2>0$$ и $$y>0$$, то дробь положительна. Следовательно,
   $$4y+\frac{1}{y}>4.$$
4. Если $$x<0$$ и $$x\neq -\frac13$$, то
   $$9x+\frac{1}{x}<-6.$$
   Преобразуем:
   $$9x+\frac{1}{x}+6<0$$
   $$\frac{9x^2+6x+1}{x}<0$$
   $$\frac{(3x+1)^2}{x}<0.$$
   Так как $$\left(3x+1\right)^2>0$$, а $$x<0$$, то дробь отрицательна. Следовательно,
   $$9x+\frac{1}{x}<-6.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\frac{3an}{7bm}$$; 3) $$\frac{5bc}{6ad}$$; 4) $$\frac{2c}{3a}$$; 5) $$\frac{1}{2m^2n}$$.
Доказано: 1) $$a+\frac{1}{a}<-2$$; 2) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2$$; 3) $$4y+\frac{1}{y}>4$$; 4) $$9x+\frac{1}{x}<-6$$.