Упр.559 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {5x + 20y = 4, 0,25x + y = 0,2;
2) {1/3 x — y = 0,6, x — 3y = 2;
3) {3/8 x — y = -11, 3/8 y — x = 11.
В зрительном зале клуба было 270 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 5 и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 380 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?

Подробный ответ

1) Преобразуем уравнения системы:
$$5x+20y=4 \;\Rightarrow\; y=-0{,}25x+0{,}2$$
$$0{,}25x+y=0{,}2 \;\Rightarrow\; y=-0{,}25x+0{,}2$$
Получились одинаковые уравнения, значит система имеет бесчисленное множество решений.
2) Преобразуем уравнения:
$$\frac13x-y=0{,}6 \;\Rightarrow\; y=\frac13x-0{,}6$$
$$x-3y=2 \;\Rightarrow\; y=\frac13x-\frac23$$
Прямые параллельны, но не совпадают, значит система не имеет решений.
3) Преобразуем уравнения:
$$\frac38x-y=-11 \;\Rightarrow\; y=\frac38x+11$$
$$\frac38y-x=11 \;\Rightarrow\; y=\frac83x+\frac{88}{3}$$
Коэффициенты при $x$ разные, значит система имеет одно решение.
Пусть в зрительном зале было $x$ рядов и $y$ мест в ряду. Тогда:
$$xy=270$$
$$(x+1)(y+5)=380$$
Раскроем скобки во втором уравнении:
$$xy+5x+y+5=380$$
Подставим $xy=270$:
$$270+5x+y+5=380$$
$$5x+y=105$$
Из первого уравнения $y=\frac{270}{x}$. Подставим:
$$5x+\frac{270}{x}=105$$
$$5x^2-105x+270=0$$
$$x^2-21x+54=0$$
$$(x-3)(x-18)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=18$$
Тогда после увеличения числа рядов на 1 стало:
$$3+1=4$$
$$18+1=19$$