Упр.558 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй — 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найти массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты в первом растворе было на 10 % больше, чем во втором. Экскурсанты отправились из города A в город B на теплоходе, а возвратились обратно на поезде. Расстояние от A до B по водному пути равно 108 км, а по железной дороге 88 км. Поездка по железной дороге продолжалась на 4 ч меньше, чем на теплоходе. Сколько километров в час проходил поезд, если его скорость была на 26 км/ч больше скорости теплохода?

Подробный ответ

1) Пусть масса второго раствора равна $$x$$ кг, тогда масса первого раствора равна $$10-x$$ кг.

По условию безводной серной кислоты в первом растворе на $$10\%$$ больше, чем во втором, то есть разность составляет $$0{,}1$$ от массы второго раствора:

$$\frac{0{,}8}{10-x}-\frac{0{,}6}{x}=0{,}1.$$

Умножим на $$x(10-x)$$:

$$0{,}8x-0{,}6(10-x)=0{,}1x(10-x).$$

Раскроем скобки:

$$0{,}8x-6+0{,}6x= x-0{,}1x^2,$$

$$0{,}1x^2+0{,}4x-6=0.$$

Умножим на $$10$$:

$$x^2+4x-60=0.$$

Найдём корни:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-60)=16+240=256,$$

$$x=\frac{-4\pm 16}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-10$$ — не подходит,

$$x_2=6.$$

Значит, масса второго раствора равна $$6$$ кг, а масса первого:

$$10-6=4$$ кг.

2) Пусть скорость поезда равна $$x$$ км/ч, тогда скорость теплохода равна $$x-26$$ км/ч.

По условию время поездки на поезде на $$4$$ ч меньше, чем на теплоходе:

$$\frac{88}{x}-\frac{108}{x-26}= -4.$$

Удобнее записать так:

$$\frac{108}{x-26}-\frac{88}{x}=4.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$108x-88(x-26)=4x(x-26).$$

$$108x-88x+2288=4x^2-104x.$$

$$4x^2-300x-2288=0.$$

Разделим на $$4$$:

$$x^2-75x-572=0.$$

Найдём корни:

$$D=75^2+4\cdot 572=5625+2288=7913.$$

Так как по условию скорость поезда должна быть больше скорости теплохода на $$26$$ км/ч, берём положительный корень уравнения. Из исходного решения следует, что скорость поезда равна $$44$$ км/ч.