Упр.557 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Рабочий положил на ранение в сберегательный банк 50 000 р. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад еще на 50 000 р., а по истечении еще одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет сбербанк, если рабочий получил 12 320 р. процентных денег, оставив вклад в 100 000 руб. на новый срок? Поезд должен пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан у семафора на 10 мин. Увеличив скорость после этого на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определить первоначальную скорость поезда.

Пусть сбербанк начисляет $$x\%$$ в год.

За первый год вклад увеличился на $$50000 \cdot \frac{x}{100}=500x$$ руб., значит, к концу первого года стало

$$50000+500x.$$

После этого вкладчик добавил ещё $$50000$$ руб., поэтому сумма вклада стала

$$100000+500x.$$

За второй год проценты начислялись уже на эту сумму, значит, процентные деньги за второй год равны

$$\left(100000+500x\right)\cdot \frac{x}{100}.$$

По условию, за второй год он получил $$12320$$ руб. процентных денег, поэтому

$$\left(100000+500x\right)\cdot \frac{x}{100}=12320.$$

Умножим на $$100$$:

$$100000x+500x^2=1232000.$$

Разделим на $$500$$:

$$x^2+200x-2464=0.$$

Найдём корни:

$$D=200^2+4\cdot 2464=40000+9856=49856,$$

$$\sqrt{49856}=224.$$

Тогда

$$x=\frac{-200\pm 224}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=12,\qquad x_2=-212.$$

Отрицательное значение не подходит, значит, ставка равна $$12\%$$.

Ответ

$$12\%$$

Ход решения

Пусть первоначальная скорость поезда равна $$x$$ км/ч, тогда после увеличения она стала $$x+10$$ км/ч.

Весь путь равен $$54$$ км, значит, первые $$14$$ км поезд прошёл за

$$\frac{14}{x}$$ ч,

а оставшиеся $$40$$ км — за

$$\frac{40}{x+10}$$ ч.

Задержка у семафора составила $$10$$ мин $$=\frac{1}{6}$$ ч, а опоздание — $$2$$ мин $$=\frac{1}{30}$$ ч.

Составим уравнение по времени:

$$\frac{14}{x}+\frac{1}{6}+\frac{40}{x+10}=\frac{54}{x}+\frac{1}{30}.$$

Перенесём и упростим:

$$\frac{40}{x+10}-\frac{40}{x}=\frac{1}{30}-\frac{1}{6}=-\frac{2}{15}.$$

Тогда

$$40\cdot \frac{x-(x+10)}{x(x+10)}=-\frac{2}{15},$$

$$-\frac{400}{x(x+10)}=-\frac{2}{15}.$$

Отсюда

$$400\cdot 15=2x(x+10),$$

$$3000=x(x+10),$$

$$x^2+10x-3000=0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2+4\cdot 3000=12100,$$

$$\sqrt{D}=110.$$

Тогда

$$x=\frac{-10\pm 110}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=50,\qquad x_2=-60.$$

Отрицательный корень не подходит, значит, первоначальная скорость поезда равна $$50$$ км/ч.

Ответ

$$50\ \text{км/ч}$$