Упр.556 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать все поле на 5 дней быстрее, чем вторым? Две бригады рабочих закончили ремонт участка дороги за 4 ч. Если бы сначала одна из них отремонтировала половину всего участка, а затем другая — оставшуюся часть, то весь ремонт был бы закончен за 9 ч. За сколько времени каждая бригада в отдельности могла бы отремонтировать весь участок?

1) Пусть вторым трактором вспахивают поле за $$x$$ дней, тогда первым — за $$x-5$$ дней.

За 1 день оба трактора вместе вспахивают

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}$$

По условию за 4 дня они вспахали $$\frac{2}{3}$$ поля, значит:

$$4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}\right)=\frac{2}{3}$$

Упростим:

$$\frac{4}{x}+\frac{4}{x-5}=\frac{2}{3}$$

$$12(x-5)+12x=2x(x-5)$$

$$12x-60+12x=2x^2-10x$$

$$2x^2-34x+60=0$$

$$x^2-17x+30=0$$

$$D=17^2-4\cdot 30=289-120=169$$

$$x=\frac{17\pm 13}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=15$$

Так как $$x-5>0$$, то $$x>5$$, значит подходит только $$x=15$$.

Тогда первым трактором поле вспахивают за $$15-5=10$$ дней.

2) Пусть первая бригада может отремонтировать участок за $$x$$ ч, а вторая — за $$y$$ ч.

Если они работают вместе, то за 4 ч выполняют всю работу:

$$\frac{4}{x}+\frac{4}{y}=1$$

Если сначала одна бригада делает половину работы, а затем другая — вторую половину, то весь ремонт длится 9 ч:

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=9$$

Отсюда

$$x+y=18$$

Из первого уравнения:

$$4y+4x=xy$$

Подставим $$x+y=18$$:

$$xy=72$$

Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-18t+72=0$$

$$D=18^2-4\cdot 72=324-288=36$$

$$t=\frac{18\pm 6}{2}$$

$$t_1=6,\quad t_2=12$$

Значит, одна бригада ремонтирует участок за 6 ч, другая — за 12 ч.

Ответ

1) 10 дней и 15 дней; 2) 6 ч и 12 ч.