Упр.555 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: На середине пути между станциями A и B поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прибыть в B по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 12 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно 120 км. Два туриста выехали одновременно на велосипедах из села A и направились разными городами в село B. Первый должен был проехать 30 км, а второй — 20 км. Скорость движения первого туриста была на 3 км/ч больше скорость второго. Однако второй турист прибыл в B на 20 мин раньше первого. Сколько времени был в дороге каждый турист?

Подробный ответ

Обозначим первоначальную скорость поезда через $$x$$ км/ч. Тогда после увеличения она стала равна $$x+12$$ км/ч.

Расстояние между станциями равно $$120$$ км, значит, на каждом участке пути поезд прошёл по $$60$$ км. Задержка составила $$10$$ мин $$= \frac{1}{6}$$ ч.

Составим уравнение по разности времени движения:

$$ \frac{60}{x}-\frac{60}{x+12}=\frac{1}{6} $$

Умножим на $$6x(x+12)$$:

$$ 360(x+12)-360x=x(x+12) $$

$$ 360x+4320-360x=x^2+12x $$

$$ x^2+12x-4320=0 $$

Найдём корни:

$$ D=12^2+4\cdot 4320=144+17280=17424,\quad \sqrt{17424}=132 $$

$$ x=\frac{-12\pm 132}{2} $$

Получаем:

$$ x_1=60,\quad x_2=-72 $$

Отрицательное значение не подходит, значит, первоначальная скорость поезда равна $$60$$ км/ч.

Для второго задания пусть скорость первого туриста равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго — $$x-3$$ км/ч. Второй турист прибыл на $$20$$ мин раньше, то есть на $$\frac{1}{3}$$ ч.

Составим уравнение:

$$ \frac{30}{x}-\frac{20}{x-3}=\frac{1}{3} $$

Умножим на $$3x(x-3)$$:

$$ 90(x-3)-60x=x(x-3) $$

$$ 90x-270-60x=x^2-3x $$

$$ x^2-33x+270=0 $$

Найдём корни:

$$ D=33^2-4\cdot 270=1089-1080=9,\quad \sqrt{D}=3 $$

$$ x=\frac{33\pm 3}{2} $$

Получаем:

$$ x_1=15,\quad x_2=18 $$

Тогда возможны два случая:

если первый турист ехал со скоростью $$15$$ км/ч, то второй — $$12$$ км/ч, и времена в пути: $$30:15=2$$ ч, $$20:12=\frac{5}{3}$$ ч $$=1$$ ч $$40$$ мин;
если первый турист ехал со скоростью $$18$$ км/ч, то второй — $$15$$ км/ч, и времена в пути: $$30:18=\frac{5}{3}$$ ч $$=1$$ ч $$40$$ мин, $$20:15=\frac{4}{3}$$ ч $$=1$$ ч $$20$$ мин.