Упр.553 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (12x+4)/(x^2+2x-3)=(3x-2)/(x-1)-(2x+3)/(x+3);
2) 5/(x^2-4)-8/(x^2-1)=2/(x^2-3x+2)-20/(x^2+3x+2).

Подробный ответ

Пусть второй бригаде потребовалось $$x$$ дней, тогда первой бригаде — $$x+10$$ дней.

За один день вторая бригада выполняет $$\frac{1}{x}$$ работы, а первая — $$\frac{1}{x+10}$$ работы. Вместе они выполняют всю работу за 12 дней, значит:

$$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$$

Умножим обе части на $$x(x+10)$$:

$$12(x+10)+12x=x(x+10)$$

$$12x+120+12x=x^2+10x$$

$$x^2-14x-120=0$$

Найдём корни:

$$D=(-14)^2-4\cdot 1\cdot(-120)=196+480=676$$

$$\sqrt{D}=26$$

$$x_{1,2}=\frac{14\pm 26}{2}$$

$$x_1=20,\quad x_2=-6$$

Отрицательный корень не подходит, так как число дней не может быть отрицательным. Тогда:

$$x=20$$

Значит, второй бригаде потребовалось $$20$$ дней, а первой:

$$20+10=30$$

Ответ

$$30$$ дней и $$20$$ дней.

Ход решения

$$\frac{12x+4}{x^2+2x-3}=\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne -3$$.
Разложим знаменатель: $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$.
Тогда
$$\frac{12x+4}{(x+3)(x-1)}-\frac{3x-2}{x-1}+\frac{2x+3}{x+3}=0$$
Умножим на $$ (x+3)(x-1) $$:
$$12x+4-(3x-2)(x+3)+(2x+3)(x-1)=0$$
$$12x+4-(3x^2+7x-6)+(2x^2+x-3)=0$$
$$-x^2+6x+7=0$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=36+28=64,\quad \sqrt{D}=8$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
$$x_1=7,\quad x_2=-1$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
$$\frac{5}{x^2-4}-\frac{8}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}-\frac{20}{x^2+3x+2}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm 2,\; x\ne \pm 1$$.
Разложим знаменатели:
$$x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-1=(x-1)(x+1)$$
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),\quad x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$
Умножим уравнение на $$ (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) $$:
$$5(x-1)(x+1)-8(x-2)(x+2)=2(x+2)(x+1)-20(x-2)(x-1)$$
$$5(x^2-1)-8(x^2-4)=2(x^2+3x+2)-20(x^2-3x+2)$$
$$5x^2-5-8x^2+32=2x^2+6x+4-20x^2+60x-40$$
$$-3x^2+27=-18x^2+66x-36$$
$$15x^2-66x+63=0$$
$$5x^2-22x+21=0$$
$$D=484-420=64,\quad \sqrt{D}=8$$
$$x_{1,2}=\frac{22\pm 8}{10}$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{7}{5}$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.