Упр.553 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Две бригады строителей, работая вместе, построили кошару для овец за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на строительство такой кошары каждой бригаде отдельно, если первой бригаде нужно было работать на 10 дней больше, чем второй?
Решить уравнение:

1) $$\frac{12x+4}{x^2+2x-3}=\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}$$;

2) $$\frac{5}{x^2-4}-\frac{8}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}-\frac{20}{x^2+3x+2}$$.

Подробный ответ

Пусть второй бригаде потребовалось $$x$$ дней, тогда первой бригаде — $$x+10$$ дней.

За один день вторая бригада выполняет $$\frac{1}{x}$$ работы, а первая — $$\frac{1}{x+10}$$ работы. Вместе они выполняют всю работу за 12 дней, значит:

$$\frac{12}{x}+\frac{12}{x+10}=1$$

Умножим обе части на $$x(x+10)$$:

$$12(x+10)+12x=x(x+10)$$

$$12x+120+12x=x^2+10x$$

$$x^2-14x-120=0$$

Найдём корни:

$$D=(-14)^2-4\cdot 1\cdot(-120)=196+480=676$$

$$\sqrt{D}=26$$

$$x_{1,2}=\frac{14\pm 26}{2}$$

$$x_1=20,\quad x_2=-6$$

Отрицательный корень не подходит, так как число дней не может быть отрицательным. Тогда:

$$x=20$$

Значит, второй бригаде потребовалось $$20$$ дней, а первой:

$$20+10=30$$

Ответ

$$30$$ дней и $$20$$ дней.

$$\frac{12x+4}{x^2+2x-3}=\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne -3$$.
Разложим знаменатель: $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$.
Тогда
$$\frac{12x+4}{(x+3)(x-1)}-\frac{3x-2}{x-1}+\frac{2x+3}{x+3}=0$$
Умножим на $$(x+3)(x-1)$$:
$$12x+4-(3x-2)(x+3)+(2x+3)(x-1)=0$$
$$12x+4-(3x^2+7x-6)+(2x^2+x-3)=0$$
$$-x^2+6x+7=0$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=36+28=64,\quad \sqrt{D}=8$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
$$x_1=7,\quad x_2=-1$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
$$\frac{5}{x^2-4}-\frac{8}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}-\frac{20}{x^2+3x+2}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm 2,\; x\ne \pm 1$$.
Разложим знаменатели:
$$x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-1=(x-1)(x+1)$$
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),\quad x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$
Умножим уравнение на $$(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$$:
$$5(x-1)(x+1)-8(x-2)(x+2)=2(x+2)(x+1)-20(x-2)(x-1)$$
$$5(x^2-1)-8(x^2-4)=2(x^2+3x+2)-20(x^2-3x+2)$$
$$5x^2-5-8x^2+32=2x^2+6x+4-20x^2+60x-40$$
$$-3x^2+27=-18x^2+66x-36$$
$$15x^2-66x+63=0$$
$$5x^2-22x+21=0$$
$$D=484-420=64,\quad \sqrt{D}=8$$
$$x_{1,2}=\frac{22\pm 8}{10}$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{7}{5}$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.