Упр.552 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (x-10)•((x+3)/(x^2-7x-30)+(x+4)/(x^2-6x-40));
2) ((x-1)/(2x^2+3x-5)-(x+1)/(3x^2+4x+1))•(6x^2+17x+5).

1) Пусть скорость первого лыжника равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго лыжника равна $$x+3$$ км/ч. По условию первый проходит $$30$$ км на $$20$$ мин дольше, то есть на $$\frac13$$ ч дольше второго:

$$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+3}=\frac13$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{30(x+3)-30x}{x(x+3)}=\frac13 $$

$$ \frac{90}{x(x+3)}=\frac13 $$

$$ 270=x(x+3) $$

$$ x^2+3x-270=0 $$

$$ D=3^2-4\cdot 1\cdot(-270)=1089,\quad \sqrt{D}=33 $$

$$ x=\frac{-3\pm 33}{2} $$

$$ x_1=15,\quad x_2=-18 $$

Отрицательное значение не подходит, значит скорость первого лыжника $$15$$ км/ч, а второго $$18$$ км/ч.

2) Упростим выражение:

$$ (x-10)\left(\frac{x+3}{x^2-7x-30}+\frac{x+4}{x^2-6x-40}\right) $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ x^2-7x-30=(x-10)(x+3),\qquad x^2-6x-40=(x-10)(x+4) $$

Тогда

$$ (x-10)\left(\frac{x+3}{(x-10)(x+3)}+\frac{x+4}{(x-10)(x+4)}\right) $$

$$ =(x-10)\left(\frac{1}{x-10}+\frac{1}{x-10}\right) $$

$$ =(x-10)\cdot \frac{2}{x-10}=2 $$

3) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{x-1}{2x^2+3x-5}-\frac{x+1}{3x^2+4x+1}\right)(6x^2+17x+5) $$

Разложим многочлены на множители:

$$ 2x^2+3x-5=(2x+5)(x-1) $$

$$ 3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1) $$

$$ 6x^2+17x+5=(2x+5)(3x+1) $$

Подставим:

$$ \left(\frac{x-1}{(2x+5)(x-1)}-\frac{x+1}{(3x+1)(x+1)}\right)(2x+5)(3x+1) $$

$$ \left(\frac{1}{2x+5}-\frac{1}{3x+1}\right)(2x+5)(3x+1) $$

$$ \frac{3x+1-(2x+5)}{(2x+5)(3x+1)}(2x+5)(3x+1)=x-4 $$

Ответ

1) $$15$$ км/ч и $$18$$ км/ч; 2) $$2$$; 3) $$x-4$$.