Упр.551 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) 9/(2x+2)+x/(x-1) и (1-3x)/(2-2x);
2) 3/(x^2-1)-1/2 и 3/(2x-2);
3) 2/(x^2-4) и 1/(x-2)-(x-4)/(x^2+2x);
4) (x-2)/(x^2-x) и 2/(x^2-1)-1/(x^2+x)?
Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда второй катет равен $$x+31$$ см. По формуле площади прямоугольного треугольника:
$$\frac12 x(x+31)=180$$
$$x(x+31)=360$$
$$x^2+31x-360=0$$
$$D=31^2+4\cdot 360=2401,\quad \sqrt{D}=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-31\pm 49}{2}$$
$$x_1=-40$$ — не подходит, так как катет не может быть отрицательным.
$$x_2=9$$
Тогда второй катет:
$$9+31=40$$
1) Найдём, при каких значениях $$x$$ равны выражения:
$$\frac{9}{2x+2}+\frac{x}{x-1}=\frac{1-3x}{2-2x}$$
ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 1$$.
Приведём к общему знаменателю и перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{9}{2(x+1)}+\frac{x}{x-1}-\frac{1-3x}{2(1-x)}=0$$
$$\frac{9}{2(x+1)}+\frac{x}{x-1}+\frac{1-3x}{2(x-1)}=0$$
Умножим на $$2(x+1)(x-1)$$:
$$9(x-1)+2x(x+1)+(1-3x)(x+1)=0$$
$$9x-9+2x^2+2x+x+1-3x^2-3x=0$$
$$-x^2+9x-8=0$$
$$x^2-9x+8=0$$
$$D=81-32=49,\quad \sqrt{D}=7$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=8$$
Значение $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит:
$$x=8$$
2) Рассмотрим уравнение:
$$\frac{3}{x^2-1}-\frac12=\frac{3}{2x-2}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm 1$$.
$$\frac{3}{(x-1)(x+1)}-\frac12-\frac{3}{2(x-1)}=0$$
Умножим на $$2(x-1)(x+1)$$:
$$6-(x^2-1)-3(x+1)=0$$
$$6-x^2+1-3x-3=0$$
$$-x^2-3x+4=0$$
$$x^2+3x-4=0$$
$$D=9+16=25,\quad \sqrt{D}=5$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=1$$
Значение $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит:
$$x=-4$$
3) Найдём, при каких значениях $$x$$ равны выражения:
$$\frac{2}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{x-4}{x^2+2x}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm 2,\; x\ne 0$$.
$$\frac{2}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x-2}+\frac{x-4}{x(x+2)}=0$$
Умножим на $$x(x-2)(x+2)$$:
$$2x-x(x+2)+(x-4)(x-2)=0$$
$$2x-x^2-2x+x^2-6x+8=0$$
$$-6x+8=0$$
$$x=\frac{8}{6}=\frac43$$
$$x=\frac43$$
4) Найдём, при каких значениях $$x$$ равны выражения:
$$\frac{x-2}{x^2-x}=\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne \pm 1$$.
$$\frac{x-2}{x(x-1)}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}+\frac{1}{x(x+1)}=0$$
Умножим на $$x(x-1)(x+1)$$:
$$ (x-2)(x+1)-2x+(x-1)=0$$
$$x^2-x-2-2x+x-1=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D=4+12=16,\quad \sqrt{D}=4$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$x_1=3,\quad x_2=-1$$
Значение $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, значит:
$$x=3$$
Ответ
Катеты: $$9$$ см и $$40$$ см; 1) $$x=8$$; 2) $$x=-4$$; 3) $$x=\frac43$$; 4) $$x=3$$.
