Упр.545 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Решить систему уравнений:
1) {(x+y=1
xy=-6)+
2) {(x+3y=10
xy=3)+
3) {(x-2y=-7
xy=-6)+
4) {(x+y=-7
xy=12)+
5) {(x^2-y^2=200
x+y=20)+
6) {(x^2-y^2=9
x-y=1)+
7) {(x^2+y^2=41
y-x=1)+
8) {(x-y=3
x^2+y^2=5)+
Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ дм, тогда другая сторона равна $$5-x$$ дм, так как $$1\text{ м}=10\text{ дм}$$ и периметр равен $$1\text{ м}$$.
Составим уравнение по площади:
$$x(5-x)=4$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
Тогда стороны прямоугольника: $$1$$ дм и $$4$$ дм.
$$ \begin{cases} x+y=1 \\ xy=-6 \end{cases} $$
По теореме, обратной теореме Виета:
$$x=3,\ y=-2$$ или $$x=-2,\ y=3$$
$$ \begin{cases} x+3y=10 \\ xy=3 \end{cases} $$
$$x=10-3y$$
$$y(10-3y)=3$$
$$3y^2-10y+3=0$$
$$D=100-36=64$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$y_1=\frac13,\quad y_2=3$$
Тогда:
$$x=9,\ y=\frac13$$ или $$x=1,\ y=3$$
$$ \begin{cases} x-2y=-7 \\ xy=-6 \end{cases} $$
$$x=2y-7$$
$$y(2y-7)=-6$$
$$2y^2-7y+6=0$$
$$D=49-48=1$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 1}{4}$$
$$y_1=\frac32,\quad y_2=2$$
Тогда:
$$x=-4,\ y=\frac32$$ или $$x=-3,\ y=2$$
$$ \begin{cases} x+y=-7 \\ xy=12 \end{cases} $$
По теореме, обратной теореме Виета:
$$x=-3,\ y=-4$$ или $$x=-4,\ y=-3$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=200 \\ x+y=20 \end{cases} $$
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$
$$\frac{x^2-y^2}{x+y}= \frac{200}{20}$$
$$x-y=10$$
$$ \begin{cases} x-y=10 \\ x+y=20 \end{cases} $$
$$x=15,\ y=5$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=9 \\ x-y=1 \end{cases} $$
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$
$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{9}{1}$$
$$x+y=9$$
$$ \begin{cases} x+y=9 \\ x-y=1 \end{cases} $$
$$x=5,\ y=4$$
$$ \begin{cases} x^2+y^2=41 \\ y-x=1 \end{cases} $$
$$x=y-1$$
$$ (y-1)^2+y^2=41 $$
$$2y^2-2y-40=0$$
$$y^2-y-20=0$$
По теореме Виета:
$$y=5,\ x=4$$ или $$y=-4,\ x=-5$$
$$ \begin{cases} x-y=3 \\ x^2+y^2=5 \end{cases} $$
$$x=3+y$$
$$ (3+y)^2+y^2=5 $$
$$2y^2+6y+4=0$$
$$y^2+3y+2=0$$
По теореме Виета:
$$y=-2,\ x=1$$ или $$y=-1,\ x=2$$
Ответ
1) $$1\text{ дм}$$ и $$4\text{ дм}$$; 2) $$(3;\,-2),\ (-2;\,3)$$; 3) $$(9;\,\tfrac13),\ (1;\,3)$$; 4) $$(-4;\,\tfrac32),\ (-3;\,2)$$; 5) $$(-3;\,-4),\ (-4;\,-3)$$; 6) $$(15;\,5)$$; 7) $$(5;\,4)$$; 8) $$(4;\,5),\ (-5;\,-4)$$; 9) $$(1;\,-2),\ (2;\,-1)$$.
