Упр.544 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Разность двух натуральных чисел относится к их произведению как 1:24, а сумма этих чисел относится к их разности как 5:1. Найти эти числа.

1) Пусть два последовательных нечётных натуральных числа — это $$x$$ и $$x+2$$. Тогда по условию:

$$x(x+2)=255$$

$$x^2+2x-255=0$$

Найдём корни уравнения:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-255)=4+1020=1024,$$

$$\sqrt{D}=32.$$

$$x=\frac{-2\pm 32}{2}$$

$$x_1=\frac{-2-32}{2}=-17,$$

$$x_2=\frac{-2+32}{2}=15.$$

Подходит только положительное натуральное число $$15$$. Тогда второе число:

$$15+2=17.$$

Значит, числа: $$15$$ и $$17$$.

2) Аналогично пусть числа — $$x$$ и $$x+2$$. Тогда:

$$x(x+2)=399$$

$$x^2+2x-399=0$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-399)=4+1596=1600,$$

$$\sqrt{D}=40.$$

$$x=\frac{-2\pm 40}{2}$$

$$x_1=\frac{-2-40}{2}=-21,$$

$$x_2=\frac{-2+40}{2}=19.$$

Подходит $$19$$, тогда второе число:

$$19+2=21.$$

Значит, числа: $$19$$ и $$21$$.

3) Пусть числа $$x$$ и $$y$$. По условию:

$$\frac{x-y}{xy}=\frac{1}{24}, \qquad \frac{x+y}{x-y}=5.$$

Из второго уравнения:

$$x+y=5(x-y)$$

$$x+y=5x-5y$$

$$4x=6y$$

$$2x=3y.$$

Из первого уравнения:

$$24(x-y)=xy.$$

Подставим $$x=\frac{3y}{2}$$:

$$24\left(\frac{3y}{2}-y\right)=\frac{3y}{2}\cdot y$$

$$24\cdot \frac{y}{2}=\frac{3y^2}{2}$$

$$12y=\frac{3y^2}{2}$$

$$24y=3y^2$$

$$8=y.$$

Тогда

$$x=\frac{3\cdot 8}{2}=12.$$

Ответ

1) $$15$$ и $$17$$; 2) $$19$$ и $$21$$; 3) $$12$$ и $$8$$.