Упр.543 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно: 1) $$156$$; 2) $$210$$.
На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на $$40$$ деревьев больше, чем вторая, и посадила $$270$$ деревьев. Вторая бригада работала на $$2$$ дня больше первой и посадила $$250$$ деревьев. Сколько дней работала на посадке деревьев каждая бригада?

Подробный ответ

1) Пусть два последовательных натуральных числа — это $$x$$ и $$x+1$$. Тогда

$$x(x+1)=156$$
$$x^2+x-156=0$$
$$D=1+4\cdot156=625,\quad \sqrt{D}=25$$
$$x=\frac{-1\pm25}{2}$$
$$x_1=-13,\quad x_2=12$$

Натуральное число подходит только $$x=12$$, значит, искомые числа:

$$12 \text{ и } 13$$

2) Аналогично, пусть числа равны $$x$$ и $$x+1$$. Тогда

$$x(x+1)=210$$
$$x^2+x-210=0$$
$$D=1+4\cdot210=841,\quad \sqrt{D}=29$$
$$x=\frac{-1\pm29}{2}$$
$$x_1=-15,\quad x_2=14$$

Подходит $$x=14$$, значит, искомые числа:

$$14 \text{ и } 15$$

3) Пусть первая бригада работала $$x$$ дней, тогда вторая — $$x+2$$ дня. Пусть вторая бригада высаживала по $$y$$ деревьев в день, тогда первая — по $$y+40$$ деревьев в день. Составим систему:

$$\begin{cases} x(y+40)=270,\\ (x+2)y=250. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$xy+40x=270$$

Из второго:

$$xy+2y=250$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$40x-2y=20$$
$$20x-y=10$$
$$y=20x-10$$

Подставим во второе уравнение:

$$(x+2)(20x-10)=250$$
$$20x^2+30x-270=0$$
$$2x^2+3x-27=0$$
$$D=3^2-4\cdot2\cdot(-27)=225,\quad \sqrt{D}=15$$
$$x=\frac{-3\pm15}{4}$$

Получаем:

$$x_1=-\frac{18}{4}<0,\quad x_2=3$$

Значит, первая бригада работала $$3$$ дня, а вторая — $$5$$ дней.