Упр.542 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^4+3x^2-7=0;
2) x^4+5x^2-5=0;
3) 6x^4+19x^2-47=0;
4) 5x^4+18x^2-111=0.
Скорость велосипедиста на первой половине пути была на 3 км/ч больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в 90 км он преодолел за 5,5 ч?

Подробный ответ

1) Решим уравнение $$x^4+3x^2-7=0.$$
Сделаем замену $$x^2=t.$$ Тогда получаем:
$$t^2+3t-7=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-7)=9+28=37.$$
$$t_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{37}}{2}.$$
Приближённо:
$$t_1\approx -4{,}5,\quad t_2\approx 1{,}5.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ значение $$t_1$$ не подходит. Тогда
$$x^2\approx 1{,}5,\quad x\approx \pm 1{,}2.$$
2) Решим уравнение $$x^4+5x^2-5=0.$$
Положим $$x^2=t.$$ Тогда:
$$t^2+5t-5=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-5)=25+20=45.$$
$$t_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{45}}{2}.$$
Приближённо:
$$t_1\approx -5{,}9,\quad t_2\approx 0{,}9.$$
Отрицательное значение не подходит, поэтому
$$x^2\approx 0{,}9,\quad x\approx \pm 0{,}9.$$
3) Решим уравнение $$6x^4+19x^2-47=0.$$
Сделаем замену $$x^2=t.$$ Получим:
$$6t^2+19t-47=0.$$
$$D=19^2-4\cdot 6\cdot(-47)=361+1128=1489.$$
$$t_{1,2}=\frac{-19\pm \sqrt{1489}}{12}.$$
Приближённо:
$$t_1\approx -4{,}8,\quad t_2\approx 1{,}7.$$
Подходит только положительное значение, значит
$$x^2\approx 1{,}7,\quad x\approx \pm 1{,}3.$$
4) Решим уравнение $$5x^4+18x^2-111=0.$$
Положим $$x^2=t.$$ Тогда:
$$5t^2+18t-111=0.$$
$$D=18^2-4\cdot 5\cdot(-111)=324+2220=2544.$$
$$t_{1,2}=\frac{-18\pm \sqrt{2544}}{10}.$$
Приближённо:
$$t_1\approx -6{,}8,\quad t_2\approx 3{,}2.$$
Тогда
$$x^2\approx 3{,}2,\quad x\approx \pm 1{,}8.$$
Пусть скорость велосипедиста на второй половине пути равна $$x$$ км/ч, тогда на первой половине пути она равна $$x+3$$ км/ч.
Половина пути: $$90:2=45$$ км.
Составим уравнение по времени:
$$\frac{45}{x}+\frac{45}{x+3}=5{,}5.$$
Умножим на $$2x(x+3)$$:
$$90(x+3)+90x=11x(x+3).$$
$$180x+270=11x^2+33x.$$
$$11x^2-147x-270=0.$$
$$D=(-147)^2-4\cdot 11\cdot(-270)=21609+11880=33489,$$
$$\sqrt{33489}=183.$$
$$x_{1,2}=\frac{147\pm 183}{22}.$$
$$x_1=\frac{147-183}{22}<0,$$ не подходит,
$$x_2=\frac{147+183}{22}=\frac{330}{22}=15.$$