Упр.541 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x-1)^4-5(x-1)^2+4=0;
2) (x+5)^4+8(x+5)^2-9=0.
Скорость вертолета Ми-6 относительно воздуха равна 300 км/ч. Расстояние в 224 км вертолет пролетел дважды: один раз — по ветру, другой раз — против ветра. Определить скорость ветра, если на полет против ветра вертолет затратил на 6 мин больше, чем на полет по ветру. (При вычислении использовать микрокалькулятор.)

Подробный ответ

Решим уравнение $$\left(x-1\right)^4-5\left(x-1\right)^2+4=0.$$
Сделаем замену: $$t=\left(x-1\right)^2.$$ Тогда получаем
$$t^2-5t+4=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0,$$
откуда $$t_1=1,\quad t_2=4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(x-1\right)^2=1 \Rightarrow x-1=\pm 1 \Rightarrow x=0,\; x=2,$$
$$\left(x-1\right)^2=4 \Rightarrow x-1=\pm 2 \Rightarrow x=-1,\; x=3.$$
Решим уравнение $$\left(x+5\right)^4+8\left(x+5\right)^2-9=0.$$
Сделаем замену: $$t=\left(x+5\right)^2.$$ Тогда
$$t^2+8t-9=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-1\right)\left(t+9\right)=0,$$
откуда $$t_1=1,\quad t_2=-9.$$
Так как $$t=\left(x+5\right)^2\ge 0,$$ значение $$t=-9$$ не подходит.
Остаётся:
$$\left(x+5\right)^2=1 \Rightarrow x+5=\pm 1 \Rightarrow x=-6,\; x=-4.$$
Пусть скорость ветра равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость вертолёта по ветру $$300+x$$ км/ч, а против ветра $$300-x$$ км/ч.
По условию:
$$\frac{224}{300-x}-\frac{224}{300+x}=\frac{6}{60}.$$
Решим уравнение:
$$ 224\cdot 60(300+x)-224\cdot 60(300-x)=6(90000-x^2) $$
$$ 26880x=540000-6x^2 $$
$$ 6x^2+26880x-540000=0 $$
$$ x^2+4480x-90000=0. $$
Найдём корни:
$$ D=4480^2+4\cdot 90000=20430400, $$
$$ \sqrt{D}=4520. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-4480\pm 4520}{2}. $$
Получаем:
$$x_1=20,\quad x_2=-4500.$$
Так как скорость ветра не может быть отрицательной, подходит только $$x=20$$ км/ч.