Упр.540 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 6/(x^2-1)+2/(1-x) и 2-(x+4)/(x+1);
2) 1/(x+2)-3/(x-2) и 4/(4-x^2 )+1?
Площадь прямоугольника равна 675 см^2. Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 30 см меньше другой.

1. $$\frac{6}{x^2-1}+\frac{2}{1-x}=2-\frac{x+4}{x+1}, \qquad x\ne \pm 1$$

   Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$, а $$\frac{2}{1-x}=-\frac{2}{x-1}$$, получаем:

   $$\frac{6}{x^2-1}-\frac{2}{x-1}-2+\frac{x+4}{x+1}=0$$

   Умножим на $$x^2-1$$:

   $$6-2(x+1)-2(x^2-1)+(x+4)(x-1)=0$$

   $$6-2x-2-2x^2+2+x^2+3x-4=0$$

   $$-x^2+x+2=0$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$ (x-2)(x+1)=0 $$

   $$x=2 \text{ или } x=-1$$

   Но $$x=-1$$ не подходит, так как это значение не входит в область допустимых значений.

   Значит, $$x=2$$.

2. $$\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x-2}=\frac{4}{4-x^2}+1, \qquad x\ne \pm 2$$

   Так как $$4-x^2=(2-x)(2+x)=-(x-2)(x+2)$$, то

   $$\frac{4}{4-x^2}=-\frac{4}{(x-2)(x+2)}$$

   Тогда:

   $$\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x-2}+\frac{4}{(x-2)(x+2)}-1=0$$

   Умножим на $$ (x-2)(x+2) $$:

   $$x-2-3(x+2)+4-(x^2-4)=0$$

   $$x-2-3x-6+4-x^2+4=0$$

   $$-x^2-2x=0$$

   $$-x(x+2)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-2$$

   Но $$x=-2$$ не подходит, так как это значение не входит в область допустимых значений.

   Значит, $$x=0$$.

3. Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$ см. Тогда

   $$xy=675,\qquad x-y=30$$

   Из второго уравнения $$x=y+30$$. Подставим в первое:

   $$y(y+30)=675$$

   $$y^2+30y-675=0$$

   $$D=30^2-4\cdot 1\cdot(-675)=900+2700=3600$$

   $$\sqrt{D}=60$$

   $$y=\frac{-30\pm 60}{2}$$

   $$y_1=-45 \text{ (не подходит)}, \qquad y_2=15$$

   Тогда

   $$x=15+30=45$$

   Следовательно, стороны прямоугольника равны $$15$$ см и $$45$$ см.

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=0$$; 3) $$15$$ см и $$45$$ см.