Упр.539 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Имеет ли действительные корни уравнение: 1) $$x^4-5x^2+7=0$$; 2) $$x^4+3x^2+2=0$$.
2. Одна сторона прямоугольника на $$5\ \text{м}$$ больше другой, а его площадь равна $$84\ \text{м}^2$$. Найти стороны прямоугольника.

1. Рассмотрим уравнение $$x^4-5x^2+7=0.$$

   Сделаем замену: $$x^2=t.$$ Тогда получаем

   $$t^2-5t+7=0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=25-4\cdot 7=25-28=-3<0.$$

   Значит, действительных значений $$t$$ нет, следовательно, нет и действительных корней у исходного уравнения.

2. Рассмотрим уравнение $$x^4+3x^2+2=0.$$

   Сделаем замену: $$x^2=t.$$ Тогда

   $$t^2+3t+2=0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t+1\right)\left(t+2\right)=0.$$

   Отсюда $$t=-1$$ или $$t=-2.$$ Но $$t=x^2\ge 0,$$ поэтому оба значения не подходят.

   Следовательно, действительных корней уравнение не имеет.

3. Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ м и $$y$$ м, причём $$x>y.$$ Тогда

   $$\begin{cases} x-y=5,\\ xy=84. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$x=y+5.$$ Подставим во второе:

   $$y(y+5)=84,$$

   $$y^2+5y-84=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-84)=25+336=361,$$

   $$\sqrt{D}=19.$$

   $$y=\frac{-5\pm 19}{2}.$$

   Получаем $$y_1=-12$$ и $$y_2=7.$$ Отрицательное значение не подходит, значит $$y=7$$ м.

   Тогда $$x=7+5=12$$ м.

Ответ

1) Действительных корней нет; 2) действительных корней нет; 3) $$7$$ м и $$12$$ м.