Упр.538 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) (3x+4)/(x-6)=(x-2)/(4x+3);
2) (x+2)/(x-2)+(x-2)/(x+2)=13/6;
3) (x+5)/(x+2)+1/(x+1)(x+2) =1/(x+1);
4) (x^2-2x-5)/(x-3)(x-1) +1/(x-3)=1;
5) x^2/(x+3)-x/(-3-x)=6/(x+3);
6) x^2/(x-1)-2x/(1-x)=3/(x-1).
Найти два числа, разность которых равна 1, а сумма их квадратов равна 3 2/9.
$$\frac{3x+4}{x-6}=\frac{x-2}{4x+3}, \qquad x\ne 6,\; x\ne -\frac34.$$
Перемножим крест-накрест:
$$\left(3x+4\right)\left(4x+3\right)=\left(x-6\right)\left(x-2\right).$$$$12x^2+25x+12=x^2-8x+12,$$
$$11x^2+33x=0,$$
$$11x(x+3)=0.$$$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-3.$$
$$\frac{x+2}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}=\frac{13}{6}, \qquad x\ne \pm 2.$$
Умножим на $$6(x-2)(x+2)$$:
$$6(x+2)^2+6(x-2)^2-13(x-2)(x+2)=0.$$$$6(x^2+4x+4)+6(x^2-4x+4)-13(x^2-4)=0,$$
$$12x^2+48-13x^2+52=0,$$
$$-x^2+100=0,$$
$$x^2=100.$$$$x=\pm 10.$$
$$\frac{x+5}{x+2}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}, \qquad x\ne -1,\; x\ne -2.$$
Умножим на $$\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$:
$$\left(x+5\right)\left(x+1\right)+1=x+2.$$$$x^2+6x+5+1=x+2,$$
$$x^2+5x+4=0,$$
$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0.$$$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=-4.$$
Значение $$x=-1$$ не подходит, так как не входит в область допустимых значений.
$$\frac{x^2-2x-5}{(x-3)(x-1)}+\frac{1}{x-3}=1, \qquad x\ne 3,\; x\ne 1.$$
Умножим на $$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$:
$$x^2-2x-5+\left(x-1\right)=\left(x-3\right)\left(x-1\right).$$$$x^2-2x-5+x-1=x^2-4x+3,$$
$$-x-6=-4x+3,$$
$$3x=9,$$
$$x=3.$$Но $$x=3$$ не входит в область допустимых значений, значит корней нет.
$$\frac{x^2}{x+3}-\frac{x}{-3-x}=\frac{6}{x+3}, \qquad x\ne -3.$$
Так как $$-3-x=-(x+3)$$, то
$$\frac{x}{-3-x}=-\frac{x}{x+3}.$$Тогда
$$\frac{x^2}{x+3}+\frac{x}{x+3}=\frac{6}{x+3}.$$Умножим на $$x+3$$:
$$x^2+x=6,$$
$$x^2+x-6=0,$$
$$\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0.$$$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=2.$$
Значение $$x=-3$$ не подходит.
$$\frac{x^2}{x-1}-\frac{2x}{1-x}=\frac{3}{x-1}, \qquad x\ne 1.$$
Так как $$1-x=-(x-1)$$, то
$$-\frac{2x}{1-x}=\frac{2x}{x-1}.$$Тогда
$$\frac{x^2}{x-1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{3}{x-1}.$$Умножим на $$x-1$$:
$$x^2+2x=3,$$
$$x^2+2x-3=0,$$
$$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0.$$$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=1.$$
Значение $$x=1$$ не подходит.
Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$x-y=1,$$
$$x^2+y^2=3\frac{2}{9}=\frac{29}{9}.$$Из первого уравнения $$x=y+1$$. Подставим во второе:
$$(y+1)^2+y^2=\frac{29}{9}.$$$$2y^2+2y+1=\frac{29}{9},$$
$$18y^2+18y+9=29,$$
$$18y^2+18y-20=0,$$
$$9y^2+9y-10=0.$$$$D=9^2-4\cdot 9\cdot(-10)=81+360=441,$$
$$\sqrt{D}=21.$$$$y=\frac{-9\pm 21}{18}.$$
$$y_1=\frac{2}{3}, \qquad y_2=-\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$x_1=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}, \qquad x_2=1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}.$$
Ответ
1) $$x=-3,\; 0$$;
2) $$x=\pm 10$$;
3) $$x=-4$$;
4) корней нет;
5) $$x=2$$;
6) $$x=-3$$;
7) $$-\frac{2}{3}$$ и $$\frac{5}{3}$$.
