Упр.537 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) 10/(x-3)-8/x=1;
2) 2/(x-5)+14/x=3;
3) 1/x+1/(x+3)=3/20;
4) 40/(x-20)-40/x=1;
5) 1/(x-3)+1/(x+3)=5/8;
6) 4/(x-2)+4/(x+2)=1,5.
Найти два числа, сумма которых равна 3, а сумма их квадратов равна 5.
$$\frac{10}{x-3}-\frac{8}{x}=1, \quad x \ne 0,\; x \ne 3.$$
Умножим на $$x(x-3)$$:
$$10x-8(x-3)=x(x-3)$$
$$10x-8x+24=x^2-3x$$
$$x^2-5x-24=0$$
$$x_1=8,\quad x_2=-3.$$
$$\frac{2}{x-5}+\frac{14}{x}=3, \quad x \ne 0,\; x \ne 5.$$
Умножим на $$x(x-5)$$:
$$2x+14(x-5)=3x(x-5)$$
$$2x+14x-70=3x^2-15x$$
$$3x^2-31x+70=0$$
$$D=31^2-4\cdot 3\cdot 70=121$$
$$x_1=\frac{31-11}{6}=\frac{10}{3},\quad x_2=\frac{31+11}{6}=7.$$
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{3}{20}, \quad x \ne 0,\; x \ne -3.$$
Умножим на $$20x(x+3)$$:
$$20(x+3)+20x=3x(x+3)$$
$$20x+60+20x=3x^2+9x$$
$$3x^2-31x-60=0$$
$$D=31^2+4\cdot 3\cdot 60=1681$$
$$x_1=\frac{31-41}{6}=-\frac{5}{3},\quad x_2=\frac{31+41}{6}=12.$$
$$\frac{40}{x-20}-\frac{40}{x}=1, \quad x \ne 0,\; x \ne 20.$$
Умножим на $$x(x-20)$$:
$$40x-40(x-20)=x(x-20)$$
$$40x-40x+800=x^2-20x$$
$$x^2-20x-800=0$$
$$D=20^2+4\cdot 800=3600$$
$$x_1=40,\quad x_2=-20.$$
$$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{5}{8}, \quad x \ne \pm 3.$$
Умножим на $$8(x-3)(x+3)$$:
$$8(x+3)+8(x-3)=5(x^2-9)$$
$$16x=5x^2-45$$
$$5x^2-16x-45=0$$
$$D=16^2+4\cdot 5\cdot 45=1156$$
$$x_1=\frac{16-34}{10}=-\frac{9}{5},\quad x_2=\frac{16+34}{10}=5.$$
$$\frac{4}{x-2}+\frac{4}{x+2}=1{,}5, \quad x \ne \pm 2.$$
Умножим на $$2(x-2)(x+2)$$:
$$8(x+2)+8(x-2)=3(x^2-4)$$
$$16x=3x^2-12$$
$$3x^2-16x-12=0$$
$$D=16^2+4\cdot 3\cdot 12=400$$
$$x_1=\frac{16-20}{6}=-\frac{2}{3},\quad x_2=\frac{16+20}{6}=6.$$
Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x^2+y^2=5. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$x=3-y$$. Подставим во второе:
$$ (3-y)^2+y^2=5 $$
$$ 9-6y+y^2+y^2=5 $$
$$ 2y^2-6y+4=0 $$
$$ y^2-3y+2=0 $$
$$ (y-1)(y-2)=0 $$
$$ y=1 \text{ или } y=2.$$
Тогда $$x=2$$ или $$x=1$$ соответственно.
Ответ
1) $$x=-3,\; 8$$; 2) $$x=\frac{10}{3},\; 7$$; 3) $$x=-\frac{5}{3},\; 12$$; 4) $$x=-20,\; 40$$; 5) $$x=-\frac{9}{5},\; 5$$; 6) $$x=-\frac{2}{3},\; 6$$; числа: $$1$$ и $$2$$.
