Упр.536 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^4-3x^2-4=0;
2) x^4+3x^2-4=0;
3) x^4+x^2-20=0;
4) x^4-4x^2-5=0.
Решить уравнение:
1) x/(x-2)+3/x=3/(x-2);
2) x^2/(x^2+3x)+(2+x)/(x+3)=(5-x)/x;
3) (y+3)/(y^2-y)+(6-y)/(1-y^2 )=(y+5)/(y+y^2 );
4) (y+4)/(y-4)-y/(4-y)=2-4/y.

Подробный ответ

$$x^4-3x^2-4=0$$
Сделаем замену: $$x^2=t$$. Тогда получаем
$$t^2-3t-4=0$$
$$t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$$
Отсюда $$t=4$$ или $$t=-1$$. Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=4$$.
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
$$x^4+3x^2-4=0$$
Положим $$x^2=t$$. Тогда
$$t^2+3t-4=0$$
$$t^2+3t-4=(t-1)(t+4)=0$$
Получаем $$t=1$$ или $$t=-4$$. С учётом $$t\ge 0$$ остаётся $$t=1$$.
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1$$
$$x^4+x^2-20=0$$
Сделаем замену $$x^2=t$$:
$$t^2+t-20=0$$
$$t^2+t-20=(t-4)(t+5)=0$$
Отсюда $$t=4$$ или $$t=-5$$. Подходит только $$t=4$$.
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
$$x^4-4x^2-5=0$$
Положим $$x^2=t$$. Тогда
$$t^2-4t-5=0$$
$$t^2-4t-5=(t-5)(t+1)=0$$
Получаем $$t=5$$ или $$t=-1$$. Так как $$t=x^2\ge 0$$, берём $$t=5$$.
$$x^2=5$$
$$x=\pm \sqrt{5}$$
$$\frac{x}{x-2}+\frac{3}{x}=\frac{3}{x-2}$$
ОДЗ: $$x\ne 0$$, $$x\ne 2$$.
Умножим уравнение на $$x(x-2)$$:
$$x^2+3(x-2)=3x$$
$$x^2+3x-6=3x$$
$$x^2=6$$
$$x=\pm \sqrt{6}$$
$$\frac{x^2}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x+3}=\frac{5-x}{x}$$
ОДЗ: $$x\ne 0$$, $$x\ne -3$$.
Так как $$x^2+3x=x(x+3)$$, умножим уравнение на $$x(x+3)$$:
$$x^2+x(x+2)=(5-x)(x+3)$$
$$x^2+x^2+2x=5x+15-x^2-3x$$
$$3x^2=15$$
$$x^2=5$$
$$x=\pm \sqrt{5}$$
$$\frac{y+3}{y^2-y}+\frac{6-y}{1-y^2}=\frac{y+5}{y+y^2}$$
ОДЗ: $$y\ne 0$$, $$y\ne 1$$, $$y\ne -1$$.
Преобразуем знаменатели:
$$y^2-y=y(y-1), \quad 1-y^2=(1-y)(1+y)=-(y-1)(y+1), \quad y+y^2=y(y+1)$$
Тогда
$$\frac{y+3}{y(y-1)}-\frac{6-y}{(y-1)(y+1)}=\frac{y+5}{y(y+1)}$$
Умножим на $$y(y-1)(y+1)$$:
$$ (y+3)(y+1)-y(6-y)=(y+5)(y-1) $$
$$y^2+4y+3-6y+y^2=y^2+4y-5$$
$$y^2-6y+8=0$$
$$ (y-2)(y-4)=0 $$
$$y=2$$ или $$y=4$$
$$\frac{y+4}{y-4}-\frac{y}{4-y}=2-\frac{4}{y}$$
ОДЗ: $$y\ne 0$$, $$y\ne 4$$.
Так как $$4-y=-(y-4)$$, то
$$\frac{y+4}{y-4}+\frac{y}{y-4}=2-\frac{4}{y}$$
$$\frac{2y+4}{y-4}=2-\frac{4}{y}$$
Умножим на $$y(y-4)$$:
$$y(2y+4)=2y(y-4)-4(y-4)$$
$$2y^2+4y=2y^2-8y-4y+16$$
$$16y=16$$
$$y=1$$