Упр.535 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^4-10x^2+9=0;
2) x^4-5x^2+4=0;
3) x^4-13x^2+36=0;
4) x^4-50x^2+49=0.
Решить уравнение:
1) x^4-9x^2+20=0;
2) x^4-11x^2+18=0;
3) 2x^4-5x^2+2=0;
4) 5x^4-16x^2+3=0.

Подробный ответ

$$x^4-10x^2+9=0$$
Сделаем замену: $$x^2=t$$. Тогда получаем
$$t^2-10t+9=0$$
$$t_1+t_2=10,\quad t_1t_2=9$$
Отсюда $$t_1=9,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
$$x^4-5x^2+4=0$$
Положим $$x^2=t$$. Тогда
$$t^2-5t+4=0$$
$$t_1+t_2=5,\quad t_1t_2=4$$
Следовательно, $$t_1=4,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
$$x^4-13x^2+36=0$$
Сделаем замену: $$x^2=t$$. Получаем
$$t^2-13t+36=0$$
$$t_1+t_2=13,\quad t_1t_2=36$$
Отсюда $$t_1=9,\quad t_2=4.$$
Тогда
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^4-50x^2+49=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$t^2-50t+49=0$$
$$t_1+t_2=50,\quad t_1t_2=49$$
Следовательно, $$t_1=49,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$x^2=49 \Rightarrow x=\pm 7$$
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
$$x^4-9x^2+20=0$$
Положим $$x^2=t$$. Тогда
$$t^2-9t+20=0$$
$$t_1+t_2=9,\quad t_1t_2=20$$
Отсюда $$t_1=4,\quad t_2=5.$$
Тогда
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^2=5 \Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$$
$$x^4-11x^2+18=0$$
Сделаем замену: $$x^2=t$$. Получаем
$$t^2-11t+18=0$$
$$t_1+t_2=11,\quad t_1t_2=18$$
Следовательно, $$t_1=9,\quad t_2=2.$$
Тогда
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
$$2x^4-5x^2+2=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t=\frac{5\pm 3}{4}$$
Отсюда $$t_1=2,\quad t_2=\frac12.$$
Тогда
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
$$x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$5x^4-16x^2+3=0$$
Сделаем замену: $$x^2=t$$. Получаем
$$5t^2-16t+3=0$$
$$D=256-60=196$$
$$t=\frac{16\pm 14}{10}$$
Отсюда $$t_1=3,\quad t_2=\frac15.$$
Тогда
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$$
$$x^2=\frac15 \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$$