Упр.533 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/x_1 +1/x_2 ;
2) x_1^2+x_2^2;
3) x_1/x_2 +x_2/x_1 ;
4) x_1^3+x_2^3.
Разложить на множители квадратный трехчлен:
1) x^2+12x+30;
2) 2x^2+x-1;
3) x^2-10x+16;
4) 2x^2-3x-2.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$3x^2-8x-15=0$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{8}{3}, \qquad x_1x_2=-5.$$

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{8}{3}}{-5}=-\frac{8}{15}.$$

2. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{8}{3}\right)^2-2\cdot(-5)=\frac{64}{9}+10=\frac{154}{9}.$$

3. $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\frac{154}{9}}{-5}=-\frac{154}{45}.$$

4. $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$

   Найдём вторую скобку:

   $$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2=\frac{154}{9}-(-5)=\frac{199}{9}.$$

   Тогда

   $$x_1^3+x_2^3=\frac{8}{3}\cdot\frac{199}{9}=\frac{1592}{27}.$$

Разложим квадратные трёхчлены на множители.

1. $$x^2+12x+30=0$$

   $$D=12^2-4\cdot 30=24,\qquad \sqrt{D}=2\sqrt{6}.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-12\pm 2\sqrt{6}}{2}=-6\pm \sqrt{6}.$$

   $$x^2+12x+30=(x+6-\sqrt{6})(x+6+\sqrt{6}).$$

2. $$x^2-10x+16=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 16=36,\qquad \sqrt{D}=6.$$

   $$x_1=\frac{10-6}{2}=2,\qquad x_2=\frac{10+6}{2}=8.$$

   $$x^2-10x+16=(x-2)(x-8).$$

3. $$2x^2+x-1=0$$

   $$D=1+8=9,\qquad \sqrt{D}=3.$$

   $$x_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad x_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}.$$

   $$2x^2+x-1=(2x-1)(x+1).$$

4. $$2x^2-3x-2=0$$

   $$D=9+16=25,\qquad \sqrt{D}=5.$$

   $$x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2},\qquad x_2=\frac{3+5}{4}=2.$$

   $$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2).$$

Ответ

1) $$-\frac{8}{15}$$; 2) $$\frac{154}{9}$$; 3) $$-\frac{154}{45}$$; 4) $$\frac{1592}{27}$$.
$$x^2+12x+30=(x+6-\sqrt{6})(x+6+\sqrt{6})$$;
$$x^2-10x+16=(x-2)(x-8)$$;
$$2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$$;
$$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$$.