Упр.532 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^2-5x+6=0;
2) 5x^2+7x-8=0;
3) 25x^2-10x+1=0;
4) 9x^2+30x+25=0.

Пусть корни уравнения $$x^2+px+3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_2=3x_1$$.

По теореме Виета:

$$x_1x_2=3,$$

тогда

$$x_1\cdot 3x_1=3,$$

$$3x_1^2=3,$$

$$x_1^2=1,$$

$$x_1=\pm 1.$$

Если $$x_1=-1,$$ то $$x_2=-3.$$ Тогда

$$x_1+x_2=-p,$$

$$-1+(-3)=-p,$$

$$-4=-p,$$

$$p=4.$$

Если $$x_1=1,$$ то $$x_2=3.$$ Тогда

$$x_1+x_2=-p,$$

$$1+3=-p,$$

$$4=-p,$$

$$p=-4.$$

Значит, возможны два ответа:

$$x_1=-1,\ x_2=-3,\ p=4$$ или $$x_1=1,\ x_2=3,\ p=-4.$$

Теперь определим число действительных корней по дискриминанту.

1. $$x^2-5x+6=0$$

   $$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0,$$

   значит, два действительных корня.

2. $$5x^2+7x-8=0$$

   $$D=7^2-4\cdot 5\cdot(-8)=49+160=209>0,$$

   значит, два действительных корня.

3. $$25x^2-10x+1=0$$

   $$D=(-10)^2-4\cdot 25\cdot 1=100-100=0,$$

   значит, один действительный корень.

4. $$9x^2+30x+25=0$$

   $$D=30^2-4\cdot 9\cdot 25=900-900=0,$$

   значит, один действительный корень.

Ответ

$$x_1=-1,\ x_2=-3,\ p=4$$ или $$x_1=1,\ x_2=3,\ p=-4.$$

1) два; 2) два; 3) один; 4) один.