Упр.53 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/(a^2n-b^2n ) + 1/(a^n+b^n ) — 1/(a^n-b^n );
2) (a^n+b^n)/(a^2n+2a^n b^n+b^2n ) + 1/(a^n+b^n ) — 1/a^n .
Доказать, что:
1) если 5a-2b>2a+b, то a>b;
2) если 4a-b<2a+b, то ab;
4) если 4a-5b>7a-8b, то a

1. $$\frac{1}{a^{2n}-b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n-b^n}$$
   
   Так как $$a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n),$$ получаем
   $$\frac{1}{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n-b^n}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{1+a^n-b^n-(a^n+b^n)}{a^{2n}-b^{2n}}=\frac{1-2b^n}{a^{2n}-b^{2n}}.$$

2. $$\frac{a^n+b^n}{a^{2n}+2a^n b^n+b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}$$
   
   Так как $$a^{2n}+2a^n b^n+b^{2n}=(a^n+b^n)^2,$$ имеем
   $$\frac{a^n+b^n}{(a^n+b^n)^2}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}.$$
   Тогда
   $$\frac{1}{a^n+b^n}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}=\frac{2}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{2a^n-(a^n+b^n)}{a^n(a^n+b^n)}=\frac{a^n-b^n}{a^n(a^n+b^n)}.$$

3. Если $$5a-2b>2a+b,$$ то
   $$5a-2a>b+2b,$$
   $$3a>3b,$$
   значит,
   $$a>b.$$

4. Если $$4a-b<2a+b,$$ то
   $$4a-2a<b+b,$$
   $$2a<2b,$$
   значит,
   $$a<b.$$

5. Если $$2a+2b<6a-2b,$$ то
   $$2a-6a<-2b-2b,$$
   $$-4a<-4b,$$
   значит,
   $$a>b.$$

6. Если $$4a-5b>7a-8b,$$ то
   $$4a-7a>-8b+5b,$$
   $$-3a>-3b,$$
   значит,
   $$a<b.$$

Ответ

1) $$\frac{1-2b^n}{a^{2n}-b^{2n}}$$;
2) $$\frac{a^n-b^n}{a^n(a^n+b^n)}$$;
3) $$a>b$$;
4) $$a<b$$;
5) $$a>b$$;
6) $$a<b$$.