Упр.526 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^2-2v3 x-1=0;
2) x^2-2v5 x+1=0;
3) x^2+v2 x-4=0;
4) x^2-4v7 x+4=0.
Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна только через один второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна через один первый кран. После этого оказалось, что наполнены 13/8 бассейна. Оба крана, работая вместе, наполняют бассейн за 3 ч 36 мин. Сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности?

1. $$x^2-2\sqrt{3}x-1=0$$

   $$D=(2\sqrt{3})^2-4\cdot 1\cdot(-1)=12+4=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\sqrt{3}\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\pm 4}{2}=\sqrt{3}\pm 2$$

   $$x=\sqrt{3}\pm 2$$

2. $$x^2-2\sqrt{5}x+1=0$$

   $$D=(2\sqrt{5})^2-4\cdot 1\cdot 1=20-4=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\sqrt{5}\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\sqrt{5}\pm 4}{2}=\sqrt{5}\pm 2$$

   $$x=\sqrt{5}\pm 2$$

3. $$x^2+\sqrt{2}x-4=0$$

   $$D=(\sqrt{2})^2-4\cdot 1\cdot(-4)=2+16=18$$

   $$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

   $$x_{1,2}=\frac{-\sqrt{2}\pm 3\sqrt{2}}{2}$$

   $$x_1=\frac{-4\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}, \qquad x_2=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

   $$x=-2\sqrt{2}, \ \sqrt{2}$$

4. $$x^2-4\sqrt{7}x+4=0$$

   $$D=(4\sqrt{7})^2-4\cdot 1\cdot 4=16\cdot 7-16=96$$

   $$\sqrt{96}=4\sqrt{6}$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\sqrt{7}\pm 4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{7}\pm 2\sqrt{6}$$

   $$x=2\sqrt{7}\pm 2\sqrt{6}$$

Ответ

1) $$x=\sqrt{3}\pm 2$$; 2) $$x=\sqrt{5}\pm 2$$; 3) $$x=-2\sqrt{2}, \ \sqrt{2}$$; 4) $$x=2\sqrt{7}\pm 2\sqrt{6}$$.

Ход решения

Пусть первому крану требуется $$x$$ ч, а второму — $$y$$ ч. Тогда их совместная работа даёт

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3\frac{3}{5}}=\frac{1}{\frac{18}{5}}=\frac{5}{18}.$$

По условию первый кран был открыт $$\frac{1}{3}y$$ часа, а второй — $$\frac{1}{3}x$$ часа. Тогда заполненная часть бассейна равна

$$\frac{y/3}{x}+\frac{x/3}{y}=\frac{13}{18}.$$

Умножим на $$18xy$$:

$$6y^2+6x^2=13xy.$$

Из первого уравнения:

$$\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{18} \quad \Rightarrow \quad 18(x+y)=5xy.$$

Подставим $$xy=\frac{18(x+y)}{5}$$ во второе уравнение:

$$6(x^2+y^2)=13xy.$$

Так как $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$, получаем

$$6\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)=13xy$$

$$6(x+y)^2=25xy.$$

Обозначим $$s=x+y$$. Тогда из $$18s=5xy$$ имеем $$xy=\frac{18s}{5}$$, и

$$6s^2=25\cdot \frac{18s}{5}=90s.$$

Так как $$s\neq 0$$, то

$$6s=90,\qquad s=15.$$

Теперь

$$xy=\frac{18\cdot 15}{5}=54.$$

Следовательно, $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-15t+54=0.$$

$$D=15^2-4\cdot 54=225-216=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{15\pm 3}{2}.$$

Получаем $$t_1=6$$ и $$t_2=9$$. Значит, один кран наполняет бассейн за $$6$$ ч, другой — за $$9$$ ч.

Ответ

$$6\text{ ч}$$ и $$9\text{ ч}$$.