Упр.525 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Сократить дробь:
1) $$\frac{x^2+x-2}{x-1}$$;
2) $$\frac{x^2+4x-12}{x-2}$$;
3) $$\frac{x+3}{x^2-6x-27}$$;
4) $$\frac{x-8}{x^2-x-56}$$;
5) $$\frac{2x^2-3x-2}{4x^2-1}$$;
6) $$\frac{3x^2+8x-3}{9x^2-1}$$.
Двое специалистов, работая вместе, закончили порученную им работу за 12 ч. Если бы сначала один из них выполнил половину всей работы, а другой — остальную часть, то на выполнение всей работы понадобилось бы 25 ч. За какое время каждый из них закончил бы эту работу, работая один?

Подробный ответ

$$\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}=x+2,$$
$$x\ne 1.$$
$$\frac{x^2+4x-12}{x-2}=\frac{(x+6)(x-2)}{x-2}=x+6,$$
$$x\ne 2.$$
$$\frac{x+3}{x^2-6x-27}=\frac{x+3}{(x-9)(x+3)}=\frac{1}{x-9},$$
$$x\ne -3,\; x\ne 9.$$
$$\frac{x-8}{x^2-x-56}=\frac{x-8}{(x-8)(x+7)}=\frac{1}{x+7},$$
$$x\ne 8,\; x\ne -7.$$
$$\frac{2x^2-3x-2}{4x^2-1}=\frac{(2x+1)(x-2)}{(2x-1)(2x+1)}=\frac{x-2}{2x-1},$$
$$x\ne -\frac12,\; x\ne \frac12.$$
$$\frac{3x^2+8x-3}{9x^2-1}=\frac{(3x-1)(x+3)}{(3x-1)(3x+1)}=\frac{x+3}{3x+1},$$
$$x\ne \frac13,\; x\ne -\frac13.$$

Пусть первый специалист выполняет работу за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч. Тогда за 1 час они вместе выполняют
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}.$$

Если первый выполнит половину работы, а второй — вторую половину, то получим:
$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25,$$
откуда
$$x+y=50.$$

Из первого уравнения:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\;\Rightarrow\; \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{12}.$$
Подставим $$x+y=50$$:
$$\frac{50}{xy}=\frac{1}{12},\qquad xy=600.$$

Решаем систему:
$$\begin{cases} x+y=50,\\ xy=600. \end{cases}$$
Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-50t+600=0.$$
$$D=50^2-4\cdot 600=2500-2400=100,$$
$$t=\frac{50\pm 10}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=20,\qquad t_2=30.$$