Упр.523 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2+5x+6=0;
2) x^2-7x+12=0;
3) x^2-6x+5=0;
4) x^2+8x+7=0;
5) x^2-8x+15=0;
6) x^2+2x-15=0.
Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см^2. Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна 369 см^2. Каковы катеты этого треугольника?
$$x^2+5x+6=0$$
Подберём числа, сумма которых равна $$5$$, а произведение — $$6$$: это $$2$$ и $$3$$.
$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0$$
$$x=-2,\; x=-3$$
$$x^2-7x+12=0$$
Подберём числа, сумма которых равна $$7$$, а произведение — $$12$$: это $$3$$ и $$4$$.
$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0$$
$$x=3,\; x=4$$
$$x^2-6x+5=0$$
Подберём числа, сумма которых равна $$6$$, а произведение — $$5$$: это $$1$$ и $$5$$.
$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0$$
$$x=1,\; x=5$$
$$x^2+8x+7=0$$
Подберём числа, сумма которых равна $$8$$, а произведение — $$7$$: это $$1$$ и $$7$$.
$$x^2+8x+7=(x+1)(x+7)=0$$
$$x=-1,\; x=-7$$
$$x^2-8x+15=0$$
Подберём числа, сумма которых равна $$8$$, а произведение — $$15$$: это $$3$$ и $$5$$.
$$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)=0$$
$$x=3,\; x=5$$
$$x^2+2x-15=0$$
Подберём числа, сумма которых равна $$2$$, а произведение — $$-15$$: это $$5$$ и $$-3$$.
$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)=0$$
$$x=-5,\; x=3$$
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$ см. Тогда
$$\frac{1}{2}xy=90,\qquad x^2+y^2=369.$$
Из первого уравнения получаем:
$$xy=180.$$
Возведём сумму катетов в квадрат:
$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=369+2\cdot180=729. $$
Следовательно,
$$x+y=27.$$
Теперь найдём катеты как корни уравнения
$$t^2-27t+180=0.$$
$$ t^2-27t+180=(t-12)(t-15)=0. $$
Значит, катеты равны $$12$$ см и $$15$$ см.
Ответ
1) $$x=-3,\,-2$$; 2) $$x=3,\,4$$; 3) $$x=1,\,5$$; 4) $$x=-7,\,-1$$; 5) $$x=3,\,5$$; 6) $$x=-5,\,3$$; катеты треугольника: $$12$$ см и $$15$$ см.
