Упр.521 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Устно. Не решая уравнения, имеющего корни, определить знаки его корней:
   1. $$x^2+4x-5=0$$;
   2. $$x^2+5x+3=0$$;
   3. $$x^2-5x+3=0$$;
   4. $$x^2-8x-7=0$$.
2. Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа.

1) Для уравнения $$x^2+4x-5=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=-4,\quad x_1x_2=-5.$$

Произведение отрицательно, значит корни разных знаков: один корень отрицательный, другой положительный.

2) Для уравнения $$x^2+5x+3=0$$:

$$x_1+x_2=-5,\quad x_1x_2=3.$$

Сумма отрицательна, произведение положительно, значит оба корня отрицательные.

3) Для уравнения $$x^2-5x+3=0$$:

$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=3.$$

Сумма положительна, произведение положительно, значит оба корня положительные.

4) Для уравнения $$x^2-8x-7=0$$:

$$x_1+x_2=8,\quad x_1x_2=-7.$$

Произведение отрицательно, значит корни разных знаков: один положительный, другой отрицательный.

5) Пусть меньшее число равно $$y$$, тогда большее число равно $$y+18$$. По условию:

$$y+(y+18)+\frac{y+18}{y}=34.$$

Умножим на $$y$$:

$$2y^2+18y+y+18=34y$$

$$2y^2-15y+18=0$$

Найдём корни:

$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 18=225-144=81$$

$$y=\frac{15\pm 9}{4}$$

$$y_1=\frac{6}{4}=1{,}5,\quad y_2=\frac{24}{4}=6$$

Тогда большее число:

$$x_1=1{,}5+18=19{,}5,\quad x_2=6+18=24$$

Ответ

1) один корень отрицательный, другой положительный; 2) оба корня отрицательные; 3) оба корня положительные; 4) один корень положительный, другой отрицательный; 5) $$19{,}5$$ и $$1{,}5$$ или $$24$$ и $$6$$.