Упр.519 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(yz=15
xz=10
y^2+z^2=34)+
2) {(xz+yz=16
xy+yz=15
xz+xy=7)+

1) Для уравнения $$x^2-19x+18=0$$ сумма корней равна $$19$$. Если один корень $$x_1=1$$, то второй:

$$x_2=19-1=18.$$

2) Решим систему

$$ \begin{cases} yz=15,\\ xz=10,\\ y^2+z^2=34. \end{cases} $$

Из первых двух уравнений выразим $$x$$ и $$y$$:

$$x=\frac{10}{z}, \qquad y=\frac{15}{z}.$$

Подставим в третье уравнение:

$$ \left(\frac{15}{z}\right)^2+z^2=34. $$

Умножим на $$z^2$$:

$$ 225+z^4=34z^2, $$

$$ z^4-34z^2+225=0. $$

Сделаем замену $$t=z^2$$. Тогда

$$ t^2-34t+225=0. $$

$$ D=34^2-4\cdot225=1156-900=256, $$

$$ t_{1,2}=\frac{34\pm16}{2}. $$

Получаем:

$$t_1=9,\qquad t_2=25.$$

Значит,

$$z^2=9 \quad \text{или} \quad z^2=25,$$

то есть

$$z=3,\,-3,\,5,\,-5.$$

Тогда:

при $$z=3$$: $$x=\frac{10}{3},\ y=5$$;

при $$z=-3$$: $$x=-\frac{10}{3},\ y=-5$$;

при $$z=5$$: $$x=2,\ y=3$$;

при $$z=-5$$: $$x=-2,\ y=-3$$.

3) Решим систему

$$ \begin{cases} xz+yz=16,\\ xy+yz=15,\\ xz+xy=7. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$xz-xy=1,$$

то есть

$$x(z-y)=1.$$

Сложим первое и третье уравнения:

$$2xz+xy+yz=23,$$

но удобнее сначала вычесть второе из третьего:

$$xz- yz = -8.$$

Из первых двух уравнений:

$$z(x+y)=16,\qquad y(x+z)=15,\qquad x(y+z)=7.$$

Сложим первое и второе уравнения исходной системы:

$$xz+yz+xy+yz=31,$$

то есть

$$xy+xz+2yz=31.$$

Из третьего уравнения $$xy+xz=7$$, значит

$$7+2yz=31,$$

$$yz=12.$$

Тогда из $$xz+yz=16$$ получаем

$$xz=4.$$

Следовательно,

$$x=\frac{4}{z},\qquad y=\frac{12}{z}.$$

Подставим в $$xy=3$$:

$$ \frac{4}{z}\cdot\frac{12}{z}=3, $$

$$ \frac{48}{z^2}=3, $$

$$ z^2=16. $$

Значит, $$z=4$$ или $$z=-4$$.

Если $$z=4$$, то $$x=1,\ y=3$$.

Если $$z=-4$$, то $$x=-1,\ y=-3$$.

Ответ

1) $$18$$.

2) $$(\tfrac{10}{3};\,5;\,3),\ (-\tfrac{10}{3};\,-5;\,-3),\ (2;\,3;\,5),\ (-2;\,-3;\,-5).$$

3) $$(-1;\,-3;\,-4),\ (1;\,3;\,4).$$