Упр.519 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- (Устно.) Один из корней уравнения $$x^2-19x+18=0$$ равен $$1$$. Найти его второй корень.
- Решить систему уравнений:
- $$\begin{cases} yz=15,\\ xz=10,\\ y^2+z^2=34; \end{cases}$$
- $$\begin{cases} xz+yz=16,\\ xy+yz=15,\\ xz+xy=7. \end{cases}$$
1) Для уравнения $$x^2-19x+18=0$$ сумма корней равна $$19$$. Если один корень $$x_1=1$$, то второй:
$$x_2=19-1=18.$$
2) Решим систему
$$\begin{cases} yz=15,\\ xz=10,\\ y^2+z^2=34. \end{cases}$$
Из первых двух уравнений выразим $$x$$ и $$y$$:
$$x=\frac{10}{z}, \qquad y=\frac{15}{z}.$$
Подставим в третье уравнение:
$$\left(\frac{15}{z}\right)^2+z^2=34.$$
Умножим на $$z^2$$:
$$225+z^4=34z^2,$$
$$z^4-34z^2+225=0.$$
Сделаем замену $$t=z^2$$. Тогда
$$t^2-34t+225=0.$$
$$D=34^2-4\cdot225=1156-900=256,$$
$$t_{1,2}=\frac{34\pm16}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=9,\qquad t_2=25.$$
Значит,
$$z^2=9 \quad \text{или} \quad z^2=25,$$
то есть
$$z=3,\,-3,\,5,\,-5.$$
Тогда:
при $$z=3$$: $$x=\frac{10}{3},\ y=5$$;
при $$z=-3$$: $$x=-\frac{10}{3},\ y=-5$$;
при $$z=5$$: $$x=2,\ y=3$$;
при $$z=-5$$: $$x=-2,\ y=-3$$.
3) Решим систему
$$\begin{cases} xz+yz=16,\\ xy+yz=15,\\ xz+xy=7. \end{cases}$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$xz-xy=1,$$
то есть
$$x(z-y)=1.$$
Сложим первое и третье уравнения:
$$2xz+xy+yz=23,$$
но удобнее сначала вычесть второе из третьего:
$$xz- yz = -8.$$
Из первых двух уравнений:
$$z(x+y)=16,\qquad y(x+z)=15,\qquad x(y+z)=7.$$
Сложим первое и второе уравнения исходной системы:
$$xz+yz+xy+yz=31,$$
то есть
$$xy+xz+2yz=31.$$
Из третьего уравнения $$xy+xz=7$$, значит
$$7+2yz=31,$$
$$yz=12.$$
Тогда из $$xz+yz=16$$ получаем
$$xz=4.$$
Следовательно,
$$x=\frac{4}{z},\qquad y=\frac{12}{z}.$$
Подставим в $$xy=3$$:
$$\frac{4}{z}\cdot\frac{12}{z}=3,$$
$$\frac{48}{z^2}=3,$$
$$z^2=16.$$
Значит, $$z=4$$ или $$z=-4$$.
Если $$z=4$$, то $$x=1,\ y=3$$.
Если $$z=-4$$, то $$x=-1,\ y=-3$$.
Ответ
1) $$18$$.
2) $$(\tfrac{10}{3};\,5;\,3),\ (-\tfrac{10}{3};\,-5;\,-3),\ (2;\,3;\,5),\ (-2;\,-3;\,-5).$$
3) $$(-1;\,-3;\,-4),\ (1;\,3;\,4).$$
